Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 185, adaptado.

Calcule ∬ D   ( 2 x + 1 ) d x d y onde D é a região do primeiro quadrante do plano x y , limitada pelas curvas y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2 .

Passo 1

Como temos os termos ( y - x 2 ) e ( x + y ) mais de uma vez nas equações que limitam a região de integração, vamos fazer a seguinte substituição:

u = y - x 2

v = x + y

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Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Nesse caso, escrever as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v não é muito simples. Por isso, vamos usar um recurso para facilitar nossa vida, em vez de calcular ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = J , vamos calcular ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = J * (que é o inverso do Jacobiano que queremos).

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Temos, então:

∂ u ∂ x = - 2 x

∂ u ∂ y = 1

∂ v ∂ x = 1

∂ v ∂ y = 1

J * = - 2 x 1 1 1 = - 2 x 1 - 1 1 = - 2 x - 1 = - ( 2 x + 1 )

Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:

J = 1 | J * | = 1 2 x + 1

Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de u e v , as nossas novas variáveis. Porém, isso seria trabalho desnecessário, repare que essa expressão é o inverso do que temos na nossa integral.

Digamos que escrevemos | J | em função de u e v e encontramos uma expressão F ( u , v ) , teremos:

∬ D *   F ( u , v ) × 1 F u , v   d u d v

Como o termo ( 2 x + 1 ) também está na integral, eles se cancelam! A integral passa a ser então:

∬ D *     d u d v

Passo 3

Agora precisamos descobrir os intervalos de integração no domínio D * . Lembrando da definição das variáveis:

y = x 2   → u = x 2 - x 2 = 0

y = x 2 + 1   → u = x 2 + 1 - x 2 = 1

x + y = 1   → v = 1

x + y = 2   → v = 2

Muito mais simples, não é? A integral iterada será então:

∫ 1 2 ∫ 0 1 d u d v =

Passo 4

Integrando em relação a u , temos:

∫ 1 2 u u = 0 u = 1 d v =

∫ 1 2 d v =

Passo 5

Integrando, agora, em relação a v :

= v 1 2 =

Resposta

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