Utiliza a transformação dada para calcular a integral

a) ∬ R ( x - 3 y ) d A , onde R é a região triangular com vértices ( 0 ,   0 ) , ( 2 ,   1 ) e ( 1 ,   2 ) ; x = 2 u + v , y = u + 2 v .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre o triângulo de vértices ( 0 ,   0 ) , ( 2 ,   1 ) e ( 1 ,   2 ) , usando a transformação x = 2 u + v e y = u + 2 v . Nosso triângulo, então, é esse aqui:

Repare que cada reta que forma o triângulo pode ser descrita por uma função do tipo y = a x + b . E nós vamos precisar encontrar as expressões que definem essas funções, para definir a nossa região de integração.

Depois disso, para calcular essa integral, vamos usar a definição:

∬ R f x , y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

Onde ∂ x , y ∂ u , v é o Jacobiano da transformação, que é dado da seguinte forma:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Então, vamos calcular as derivadas parciais de x = 2 u + v e y = u + 2 v , tirar esse determinante e substituir na integral junto com os intervalos de integração e nossa f escrita em função de u e v .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas do nosso jacobiano.

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u 2 u + v = 2

E ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v 2 u + v = 1

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u u + 2 v = 1

E por ultimo ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v u + 2 v = 2

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 2 1 1 2 = ( 2 ∙ 2 ) - ( 1 ∙ 1 ) = 3

Passo 4

A transformação mapeia o limite de S para o limite da imagem R . Então, vamos encontrar as funções que definem as retas do nosso triângulo, visto no passo 1 , e substituir as equações de transformação, x = 2 u + v e y = u + 2 v .

A reta com os pontos 0,0 e 2,1 é y = 1 2 x , que tem uma imagem:

y = 1 2 x = 1 2 2 u + v = u + 2 v

→ 2 u + v = 2 u + 4 v

→ v = 0

A reta com os pontos 2,1 e 1,2 é x + y = 3 , que tem uma imagem:

x + y = 3

→ 2 u + v + u + 2 v = 3

→ u + v = 1

→ v = 1 - u

A reta com os pontos 0,0 e 1,2 é y = 2 x , que tem uma imagem:

y = 2 x

→ u + 2 v = 2 2 u + v

→ u = 0

Agora temos 0 ≤ v ≤ 1 - u e 0 ≤ u ≤ 1 no plano u v .

Passo 5

Agora vamos substituir na integral:

∬ R f x , y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 2 u + v - 3 u + 2 v 3 d v d u = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u - u - 5 v 3 d v d u = - 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u u + 5 v d v d u

Integrando primeiro em relação a v :

- 3 ∫ 0 1 u v + 5 v 2 2 0 1 - u d u

E aplicando os limites de integração em v :

= - 3 ∫ 0 1 u 1 - u + 5 1 - u 2 2 - u ∙ 0 + 5.0 2 2 d u

= - 3 ∫ 0 1 u - u 2 + 5 1 - u 2 2 d u

Agora integrando em relação a u :

= - 3 u 2 2 - u 3 3 - 5 6 1 - u 3 0 1

E aplicando os limites de integração em u :

- 3 1 2 2 - 1 3 3 - 5 6 1 - 1 3 - 0 2 2 - 0 3 3 - 5 6 1 - 0 3

= - 3 1 2 - 1 3 + 0 - 0 - 0 - 5 6

= - 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∬ R ( x - 3 y ) d A = - 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .