Utiliza a transformação dada para calcular a integral

b) ∬ R x y d A , onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x e y = 3 x e as hipérboles x y = 1 , x y = 3 ; x = u v , y = v .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região limitada pelas retas y = x e y = 3 x e as hipérboles y = 1 x , y = 3 x , usando a transformação x = u v e y = v . Olha aí nossa região no primeiro quadrante, em amarelo:

Essa região vai definir nossos limites de integração, substituindo as equações de transformação, x = u v e y = v , nas equações das retas e das hipérboles.

Depois disso, para calcular essa integral, vamos usar a definição:

∬ R f x , y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

Onde ∂ x , y ∂ u , v é o Jacobiano da transformação, que é dado da seguinte forma:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Então, vamos calcular as derivadas parciais de x = u v e y = v , tirar esse determinante e substituir na integral junto com os intervalos de integração.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas do nosso Jacobiano.

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u u v = 1 v

E ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v u v = - u v 2

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u v = 0

E por ultimo ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v v = 1

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 1 v - u v 2 0 1 = 1 v ∙ 1 - 0 - u v 2 = 1 v

Passo 4

Com a transformação de y = v → v = y e x = u v → u = v x = y x e usando as retas e as hipérboles vamos ter:

y = x → v = u v → v = u

x y = 3 → u v ∙ v = 3 → u = 3

y = 3 x → v = 3 u v → v = 3 u

x y = 1 → u v ∙ v = 1 → u = 1

Agora temos u ≤ v ≤ 3 u e 1 ≤ u ≤ 3 no plano u v .

Passo 5

Agora vamos substituir na integral:

∬ R x y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

= ∫ 1 3 ∫ u 3 u u v ∙ v ∙ 1 v   d v d u

= ∫ 1 3 ∫ u 3 u u v   d v d u

Integrando primeiro em relação a v :

∫ 1 3 u ln ⁡ v u 3 u d u

E aplicando os limites de integração em v :

∫ 1 3 u ln ⁡ 3 u - ln ⁡ u d u

= ∫ 1 3 u ln ⁡ 3 u u   d u

Agora integrando em relação a u :

= ∫ 1 3 ln ⁡ 3 u d u = ln ⁡ 3 u 2 2 1 3

E aplicando os limites de integração em u :

ln ⁡ 3 3 2 2 - 1 2 2

= 4 ln ⁡ 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∬ R x y d A = 4 ln ⁡ 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .