Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2013.2, Questão 1

Seja D = { ( x , y ) R 2 ; x + y 0 ,   y 0 ,   x 1 } . Calcular o valor da integral

D   x 3 x + y d A

Passo 1

Essa expressão parece complicada tanto para integrar em x quanto em y , pois o termo dentro da raiz quadrada não é muito simples. Vamos, então, procurar uma substituição que facilite essa integração. Faremos:

u = x 3 e v = x + y

Assim, o radicando passa a ser simplesmente v .

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Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Escrevendo as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v , temos o sistema:

x = u 3 v = u 3 + y   y = v - u 3 .

Temos, então>

x u = 1 3 u - 2 3

y v = 1

x v = 0

y u = - 1 3 u - 2 3  

J = ( x , y ) ( u , v ) = 1 3 u - 2 3 0 - 1 3 u - 2 3 1 = 1 3 u - 2 3 1 - 0 = 1 3 u - 2 3

J = 1 3 u - 2 3

Passo 3

Agora vamos calcular os novos intervalos. Como a região de integração fica mais complexa nas variáveis u e v , vamos fazer o gráfico no plano x y :

Assim, fica mais fácil ver que 0 x 1 e - x y 0 , pois a reta vermelha é y = - x . Precisamos, agora, “traduzir” esses limites para as novas variáveis, substituindo os valores que atribuímos a x e a y :

0 u 3 1   0 u 1

- u 3 v - u 3 0   0 v u 3

Passo 4

Agora vamos montar a nova integral em termos de u e v :

0 1   0 u 1 3 u   v 1 2 1 3 u - 2 3 d v d u = 1 3 0 1   0 u 1 3 u 1 3   v 1 2 d v d u =

Passo 5

Integraremos, então, em relação a v :

= 1 3 0 1 2 3 u 1 3 v 3 2 v = 0 v = u 1 3 d u =

= 2 9 0 1 u 1 3 u 1 3 3 2 d u = 2 9 0 1 u 1 3 u 1 2 d u = 2 9 0 1 u 5 6 d u

Passo 6

Integraremos, então, em relação a u :

= 2 9 × 6 11 u 11 6 0 1 d u =

Resposta

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