1) A mudança de variáveis que tem como Jacobiano

∂ x ,   y ∂ u ,   v = 1 3

É:

  1. u = x - 1 y 2 ,   v = x 2 y - 1
  2. x = u + v / 2   ,   y = u + v / 4
  3. u = y - x ,   v = y + x
  4. x = v / 3 + u ,   y = u + v
  5. u = y - x 2 ,   v = x + y

Passo 1

Bem, aqui devemos ir testando e ver qual que vai dar certo ou não.

Vajamos a letra a ...

u = x - 1 y 2 ,   v = x 2 y - 1

Se calcularmos o Jacobiano dela, lembrando que em casos onde temos u e v em função de x e y , é válido calcular o Jacobiano inverso...

J * = ∂ u ,   v ∂ x ,   y

Lembrando que o Jacobiano é uma matriz...

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Calculando essas derivadas parciais, no caso de...

u = x - 1 y 2 ,   v = x 2 y - 1

Passo 2

∂ u ∂ x = - y 2 x 2

∂ u ∂ y = 2 y x

Calculando agora as de v ...

∂ v ∂ x = 2 x y

∂ v ∂ y = - x 2 y 2

Voltando para o cálculo...

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = - y 2 x 2 2 y x 2 x y - x 2 y 2 =

1 - 4 = 3

Como o Jacobiano é o inverso do inverso...

J = 1 J * = 1 3

Prontinho! De primeira encontramos, sacou?

Resposta

a ) 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação. x = v + w 2 , y = w + u 2 ,z = u + v 2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .