Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

Mudança de variáveis

Obs: o enunciado dessa questão foi alterado, com relação ao original disponibilizado pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade.

Calcule ∬ D   x + y - 1 x - y + 1 4 d x d y , sendo D a região do plano limitada por:

x + y - 1 = x - y + 1

x + y - 1 = 2 x - y + 1

x - y + 1 = 1

x - y + 1 = 2

Passo 1

Antes de tudo, vamos dar uma olhada no enunciado. As equações estão escritas de forma estranha, não é? Percebeu que eles isolaram os termos ( x + y - 1 ) e ( x - y + 1 ) em todas elas? E, além disso, encontramos esses mesmos termos na integral da questão?

Isso quer dizer que eles estão implorando para fazermos essa mudança de variáveis:

x + y - 1 = u

x - y + 1 = v

Assim, as equações passam a ser:

u = v

u = 2 v

v = 1

v = 2

Olha que lindo, bem melhor. Temos, então 1 ≤ v ≤ 2 e v ≤ u ≤ 2 v .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas como nada vem de graça, temos que calcular o Jacobiano dessa transformação, lembra?

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Temos:

x + y - 1 = u

x - y + 1 = v

Isso nos dá

x = u + v 2

y = u - v 2 + 1

∂ x ∂ u = 1 2

∂ x ∂ v = 1 2

∂ y ∂ u = 1 2

∂ y ∂ v = - 1 2

J = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 = - 1 2

Passo 3

Agora vamos montar a integral em termos de u e v , lembrando que o que levamos para a integral é o módulo do Jacobiano:

∬ D   x + y - 1 x - y + 1 4 d x d y = ∫ 1 2 ∫ v 2 v 1 2 u v 4 d u d v

Passo 4

Agora é só resolver isso aí

= 1 4 ∫ 1 2 u 2 v 4 v 2 v d v =

= 1 4 ∫ 1 2 4 v 2 - v 2 v 4 d v =

= 3 4 ∫ 1 2 1 v 2 d v =

= - 3 4 v 1 2 =

= 3 4 - 3 8 =

= 3 8

Resposta

3 8

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas