Seja D a região do primeiro quadrante limitada por y = x , y = 3 x , x y = 1 e x y = 4 e seja T a mudança de variáveis onde

u = y x v = x y

a) Esboce a região D e a região B tal que T B = D .

b) Usando a mudança de variáveis T calcular a integral

∫ ∫ D x y 3 d x d y

Passo 1

a) Cara, esboçar essa região D , é esboçar as curvas y = x , y = 3 x , x y = 1 e x y = 4 no primeiro quadrante. E destacar a região que está sendo limitada por todas essas curvas ao mesmo tempo.

Vamos começar por y = x , isso é uma reta que tem angulação de 45 ° em relação ao eixo x , e passa pela origem. Já a y = 3 x é também uma reta que passa pela origem, mas angulação dela é maior.

Colocando essas duas no mesmo plano:

Agora vamos olhar para as outras curvas. Olha essa aqui x y = 1 . A gente pode escrever ela como

y = 1 x

E isso é um tipo de hipébole (eles esperam que a gente saiba a cara dela, tá?) E a outra que sobrou: x y = 4 , pode ficar assim

y = 4 x

Essa vai ser muito parecida com a hipérbole de cima, mas como o numerador dela é maior, y vai ser maior para essa aí. Então ela fica mais acima em relação a anterior.

Aí colocando elas no mesmo plano que as retas e marcando a região D (limitada por todas essas curvas), que está no primeiro quadrante, a gente fica com

Passo 2

Para esboçar B , a gente precisa aplicar nossa mudança T :

u = y x v = x y

Nas informações que a gente tem sobre D , as curvas: y = x , y = 3 x , x y = 1 e x y = 4

Percebe que como v = x y , podemos reescrever

x y = 1 ,     x y = 4

v = 1 ,     v = 4

Agora se a gente reescrever nossas retas assim:

y = x ∴   y x = 1

y = 3 x ∴ y x = 3

Aí como u = y / x , temos

u = 1 ,     u = 3

Temos então que B é a região entre as retas v = 1 ,   v = 4 ,   u = 1 e u = 3 . Esboçamos ele no plano u v assim:

Passo 3

b) Queremos calcular

∫ ∫ D x y 3 d x d y

Mas usando a mudança de variáveis que ele deu. Então já vamos descrever o domínio de integração olhando para B , que é a cara de D nas variáveis novas u   e v .

Vamos usar essa nova região para ser o domínio da nossa integral. Agora a gente precisa achar nossos extremos de integração.

Repara que no eixo u , nossa região é limitada por u = 1 e u = 3 . Aí podemos escrever:

1 ≤ u ≤ 3

Já no eixo v , nossa região está entre v = 1 e v = 4 . Aí a gente pode dizer que:

1 ≤ v ≤ 4

Prontinho! Temos nossos extremos!

Passo 4

A gente não pode esquecer do nosso Jacobiano J , já que temos uma mudança de variáveis. Como a gente tem u ( x , y ) e v ( x , y ) :

u = x y ,     v = x y

Podemos calcular ele pela relação:

1 J = ∂ u , v ∂ x , y = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = 1 y - x y 2 y x = x y - - x y = 2 x y ∴ J = y 2 x

Mas a gente precisa do módulo dele. Como estamos no quadrante, a gente sabe que

x ≥ 0 ,     y ≥ 0

Então

J = y 2 x ∴ J = y 2 x

Passo 5

Agora a gente monta nossa integral nova. Como o nosso jacobiano está em x y , vamos começar multiplicando o integrando antigo por ele

x y 3 ⋅ J = x y 3 ⋅ y 2 x = y 4 2

Esse é o nosso novo integrando, mas a gente precisa colocar ele em função de u e v . Vamos usar nossas transformações de novo, vendo se a gente acha uma expressão em u , v para y 4 :

u = x y ∴ x = y u

v = x y ∴ v = y u y ∴ v u = y 2 ∴ y 4 = v 2 u 2

Esse vai ser nosso integrando final, aí agora a gente só precisa colocar nossos extremos de integração:

∫ ∫ D x y 3 d x d y = ∫ 1 4 ∫ 1 3 v 2 u 2 d u d v

Passo 6

Agora é calcular essa belezura:

∫ ∫ D x y 3 d x d y = ∫ 1 4 ∫ 1 3 v 2 u 2 d u d v

Como para u , o v é uma constante:

= ∫ 1 4 ∫ 1 3 v 2 u 2 d u d v = ∫ 1 4 v 2 ∫ 1 3 u - 2 d u d v = ∫ 1 4 v 2 - u - 1 1 3 d v =

= ∫ 1 4 v 2 - 3 - 1 + 1 d v = ∫ 1 4 v 2 - 1 3 + 1 d v = 2 3 ∫ 1 4 v 2 d v =

= 2 3 v 3 3 1 4 = 2 3 4 3 3 - 1 3 = 126 9 = 14

∫ ∫ D x y 3 d x d y = 14

Resposta

a)

b) 14

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .