Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 24f

Calcule as seguintes integrais

D x + y - 1 x - y 6 d x d y

D é o quadrado x + y 1

Passo 1

Vamos ver como é, algebricamente essa região.

Temos 4 situações, que são os sinais de x e y combinados, vamos ao caso 1

x 0   e   y 0

x + y 1

Vamos ao caso 2

x 0   e   y < 0

x - y 1

Agora o caso 3

x < 0   e   y 0

- x + y 1

Multiplicando por - 1 para chegar em algo parecido com o caso 2

x - y - 1

Agora, finalmente, vamos ao último caso, o caso 4

x < 0   e   y < 0

- x - y 1

Multiplicando por - 1 para chegar em algo parecido com o caso 1

x + y - 1

Podemos resumir então em duas fórmulas

1 x + y - 1

1 x - y - 1

Repara que essas fórmulas também estão na integral, vamos usar essa substituição então

u = x + y

v = x - y

Isso é o mesmo que

x = u + v 2

y = u - v 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

J = ( x , y ) ( u , v )     = x u x v y u y v

x u = 1 2

x v = 1 2

y u = 1 2

y v = - 1 2

J = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 = - 1 4 - 1 4 = - 1 2

Temos que pegar o jacobiano sempre em módulo, então

J = 1 2

Fazendo a substituição na integral, temos, então:

1 2 D *   u - 1 v 6 d u   d v

Passo 3

A nova região vai ser

1 u - 1

1 v - 1

A integral vai ser

1 2 - 1 1 - 1 1 u - 1 v 6 d u   d v = 1 2 - 1 1 v 6 u 2 2 - u u = - 1 1   d v =

1 2 - 1 1 v 6 1 2 2 - 1 - - 1 2 2 - - 1   d v = - 1 2 - 1 1 v 6 1 2 - 1 - 1 2 - 1   d v

1 2 - 1 1 v 6 - 2 d v = - - 1 1 v 6 d v = - v 7 7 v = - 1 1 = - 1 7 - - 1 7 = - 2 7

Resposta

- 2 7

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