Calcule as seguintes integrais

∬ D x + y - 1 x - y 6 d x d y

D é o quadrado x + y ≤ 1

Passo 1

Vamos ver como é, algebricamente essa região.

Temos 4 situações, que são os sinais de x e y combinados, vamos ao caso 1

x ≥ 0   e   y ≥ 0

x + y ≤ 1

Vamos ao caso 2

x ≥ 0   e   y < 0

x - y ≤ 1

Agora o caso 3

x < 0   e   y ≥ 0

- x + y ≤ 1

Multiplicando por - 1 para chegar em algo parecido com o caso 2

x - y ≥ - 1

Agora, finalmente, vamos ao último caso, o caso 4

x < 0   e   y < 0

- x - y ≤ 1

Multiplicando por - 1 para chegar em algo parecido com o caso 1

x + y ≥ - 1

Podemos resumir então em duas fórmulas

1 ≥ x + y ≥ - 1

1 ≥ x - y ≥ - 1

Repara que essas fórmulas também estão na integral, vamos usar essa substituição então

u = x + y

v = x - y

Isso é o mesmo que

x = u + v 2

y = u - v 2

Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v )     = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

∂ x ∂ u = 1 2

∂ x ∂ v = 1 2

∂ y ∂ u = 1 2

∂ y ∂ v = - 1 2

J = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 = - 1 4 - 1 4 = - 1 2

Temos que pegar o jacobiano sempre em módulo, então

J = 1 2

Fazendo a substituição na integral, temos, então:

1 2 ∬ D *   u - 1 v 6 d u   d v

Passo 3

A nova região vai ser

1 ≥ u ≥ - 1

1 ≥ v ≥ - 1

A integral vai ser

1 2 ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 u - 1 v 6 d u   d v = 1 2 ∫ - 1 1 v 6 u 2 2 - u u = - 1 1   d v =

⇒ 1 2 ∫ - 1 1 v 6 1 2 2 - 1 - - 1 2 2 - - 1   d v = - 1 2 ∫ - 1 1 v 6 1 2 - 1 - 1 2 - 1   d v

1 2 ∫ - 1 1 v 6 - 2 d v = - ∫ - 1 1 v 6 d v = - v 7 7 v = - 1 1 = - 1 7 - - 1 7 = - 2 7

Resposta

- 2 7

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação. x = v + w 2 , y = w + u 2 ,z = u + v 2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .