Inverta a ordem para calcular a integral

∫ - π 0 ∫ y 2 π y s e n x x d x   d y

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa integral para resolver

∫ - π 0 ∫ y 2 π y s e n x x d x   d y

Mas precisamos inverter os limites!

Mas como fazer isso??

Para inverter os limites precisamos conhecer a região, vamos pegar dos limites as delimitações

x = π

x = y 2

y = 0

y = - π

Invertendo temos

y = x ,   0 < x < π

A ideia é trocar os limites e resolver a integral!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é

∫ 0 π ∫ 0 x y s e n x x d y   d x

Integrando em y temos

∫ 0 π s e n x x y 2 2 0 x d x = ∫ 0 π s e n x x   . x 2   d x = 1 2 ∫ 0 π s e n   x   d x

Tranquilo?

x

= 1 2 - cos ⁡ x 0 π = 1 2 - - 1 + 1 = 1 2 2 = 1

Beleza?

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .