Considere a integral

∬ R   x + y e x 2 - y 2 d x d y

Onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - y = 0 , x - y = 2 , x + y = 0 e x + y = 3 .

  1. Escolha uma mudança de variáveis x , y = T ( u , v ) apropriada (note que x 2 - y 2 = ( x + y ) ( x - y ) . Calcule a derivada D T ( u , v ) .
  2. Esboce cuidadosamente as regiões de integração R * , onde R = T ( R * ) .
  3. Calcule a integral usando a fórmula de mudança de variáveis.

Passo 1

Letra a)

Bom, reparou que ( x + y ) e ( x - y ) aparecem 300 vezes nessa questão, né? Então é essa mudança que vamos fazer:

x + y = u

x - y = v

Beleza?

Passo 2

Bom, se vamos fazer um mudança de variáveis, precisamos calcular o Jabobiano disso aí. Temos a transformação:

x = u + v 2

y = u - v 2

x , y = T u , v = u + v 2 , u - v 2

O que nos dá

∂ x ∂ u = 1 2

∂ x ∂ v = 1 2

∂ y ∂ u = 1 2

∂ y ∂ v = - 1 2

Como

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v )     = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

J = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 = 1 4 + 1 4 = 1 2

J = 1 2

Passo 3

Letra b)

Agora temos que descobrir nossa região de integração no plano u v . Sabemos que R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - y = 0 , x - y = 2 , x + y = 0 e x + y = 3 . Fazendo a mudança de variáveis nessas equações, temos:

v = 0

v = 2

u = 0

u = 3

Graficamente

A região de integração é o interior desse retângulo.

Passo 4

Letra c)

Show, agora vamos escrever matematicamente essa região. Podemos ver pela figura que:

0 ≤ u ≤ 3

0 ≤ v ≤ 2

Passo 5

Agora vamos fazer a mudança na nossa integral.

∬ R   x + y e x 2 - y 2 d x d y = ∬ R   x + y e ( x + y ) ( x - y ) d x d y

= ∫ 0 3 ∫ 0 2 u   e u v 1 2   d v d u =

Não se esqueça do Jacobiano!

E resolver isso aí:

= 1 2 ∫ 0 3 u u e u v 0 2   d u =

= 1 2 ∫ 0 3 e 2 u - 1   d u =

= 1 2 1 2 e 2 u - u 0 3 =

= 1 2 e 6 2 - 3 - 1 2

= 1 4 e 6 - 7

Resposta

1 4 e 6 - 7

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação. x = v + w 2 , y = w + u 2 ,z = u + v 2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .