Considere a integral

∬ D   x y d x d y

Onde D = { x , y ϵ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 2 + 2 x 2 } .

  1. Usando a mudança de variáveis x , y = T u , v = u , v 1 + u 2 , esboce cuidadosamente a região D * tal que D = T ( D * ) , justificando.
  2. Calcule a derivada D T ( u , v ) .
  3. Calcule a integral dada usando a fórmula de mudança de variáveis.
  4. Cheque o resultado do item (c) calculando a integral nas variáveis x , y .

Passo 1

Letra a)

A mudança que o problema pede nos dá que:

x = u

y = v ( 1 + u 2 )

Assim 0 ≤ x ≤ 1 passa a ser

0 ≤ u ≤ 1

E

  0 ≤ y ≤ 2 + 2 x 2

Passa a ser

0 ≤ y 1 + x 2 ≤ 2

Substituindo x = u em y = v ( 1 + u 2 ) vemos que:

y = v 1 + x 2

y 1 + x 2 = v

Assim, o outro intervalo que limita nossa região é

0 ≤ v ≤ 2

Foi? Temos 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2 , graficamente:

Passo 2

Letra b)

Nós temos:

∂ x ∂ u = 1  

∂ x ∂ v = 0

∂ y ∂ u = 2 u v

∂ y ∂ v = 1 + u 2

Como

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v )     = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

J = 1 0 2 u v 1 + u 2 = 1 + u 2

J = 1 + u 2

Passo 3

Letra c)

Agora vamos fazer essa mudança de variáveis na ntegral:

∬ D   x y d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 2 u v ( 1 + u 2 ) ( 1 + u 2 ) d v d u

Agora é só calcular isso aí

= 1 2 ∫ 0 1 v 2 u 1 + u 2 2 0 2 d u =

= 2 ∫ 0 1 u 1 + u 2 2 d u =

Agora fazemos a substituição 1 + u 2 = k , 2 u   d u = d k

= ∫ 1 2 k 2 d k =

= k 3 3 1 2 =

= 8 3 - 1 3 = 7 3

Passo 4

Letra d)

Agora vamos calcular a integral sem fazer a mudança de variáveis:

∬ D   x y d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 2 + 2 x 2 x y d y d x

= 1 2 ∫ 0 1 x y 2 0 2 + 2 x 2 d x =

= 1 2 ∫ 0 1 x 2 + 2 x 2 2 d x =

= 4 ∫ 0 1 x 1 + x 2 2 d x =

Agora fazemos a substituição 1 + x 2 = k , 2 x   d x = d k

= ∫ 1 2 k 2 d k =

= k 3 3 1 2 =

= 8 3 - 1 3 = 7 3

Ainda bem que deu a mesma coisa né! Pronto, isso aí gente.

Resposta

  1. 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2
  2. J = 1 + u 2
  3. 7 3
  4. 7 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação. x = v + w 2 , y = w + u 2 ,z = u + v 2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .