Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFPE, Calculo 2, 3º EE - 2014.2, Questão 4

Calcule

0 4 y 2 y 2 + 1 2 x - y 2 d x d y

Aplicando a transformação

u = 2 x - y 2

v = y 2

Passo 1

Vamos lá galera, teoricamente daria pra fazer essa questão sem a mudança, mas como o enunciado pediu, vamos aplicar isso que ele quer, beleza?

Antes de qualquer coisa, vamos tirar as funções que temos dentro da integral, o que ela nos diz é:

y 2 x y 2 + 1

0 y 4

Pra usar essas mudanças, vamos ter que “brincar” com essas funções, olha só

A primeira equação que temos é

x = y 2

2 x = y

2 x - y = 0

2 x - y 2 = 0

u = 0

Sacou? Não alteramos a igualdade em momento nenhum, só fizemos o termo “ 2 x - y 2 aparecer ali! Vamos fazer o mesmo para a outra igualdade

x = y 2 + 1

2 x = y + 2

2 x - y = 2

2 x - y 2 = 1

u = 1

Portanto sabemos que 0 u 1

Vamos agora analisar os valores de v ! Perceba que v só é função de y e sabemos que y está nesse intervalo aqui

0 y 4

Dividindo tudo por 2

0 y 2 2

Só que a definição de v é exatamente essa! Portanto

0 v 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Boa, calculamos os limites de u e v . Mas pra aplicar isso aí na integral precisamos do valor do jacobiano dessa mudança, não se esqueça disso!

u x = 1

u y = - 1 2

v x = 0

v y = 1 2

Cuidado que esse é o jacobiano J *

J * = 1 - 1 2 0 1 2 = 1 2

J = 1 J * = 2

Passo 3

Substituindo tudo na integral

0 4 y 2 y 2 + 1 2 x - y 2 d x d y

= 0 2 0 1 u 2 d u d v

= 2 0 2 0 1 u d u d v

Passo 4

Começando a integrar isso aí em u

2 0 2 u 2 2 0 1 d v = 2 0 2 1 2 d v

= 0 2 d v

Integrando em relação a v

= v 0 2 = 2

Resposta

2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas