Calcule a integral dupla ∬ D   2 x + y s e n ( x - 2 y ) d x d y , onde D é a região delimitada pelas curvas dadas pelas equações   2 x + y 2 - 2 y + x = - 3 , 2 x + y 2 - 2 y + x = 0 , 2 x + y = 1 e 2 x + y = 0 .

Passo 1

Essa integral, não parece muito simples de se calcular. Analisando o domínio, não conseguimos identificar de primeira que região é essa, para escrevermos como tipo I ou II. Por isso, precisamos fazer substituições.

Repare que os termos 2 x + y e x - 2 y aparecem tanto na integral como nas curvas que limitam a região de integração, isso nos leva a pensar que talvez seja uma boa substituí-los por outra variável. É que faremos, vamos definir:

2 x + y = u e x - 2 y = v

Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Escrevendo as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v , temos o sistema:

y + 4 y = u - 2 v   → y = u - 2 v 5 4 x + x = 2 u + v   → x = 2 u + v 5 .

Temos, então>

∂ x ∂ u = 2 5

∂ y ∂ v = - 2 5

∂ x ∂ v = 1 5

∂ y ∂ u = 1 5

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = 2 5 1 5 1 5 - 2 5 = 2 5 - 2 5 - 1 5 1 5 = - 4 - 1 25 = - 1 5

J = 1 5

Você também poderia ter calculado ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) e invertido o resultado

Passo 3

Agora vamos calcular os novos intervalos, substituindo u e v as equações das curvas do enunciado:

2 x + y = 1   → u = 1

2 x + y = 0   → u = 0

2 x + y 2 - 2 y + x = - 3   →   u 2 + v = - 3

2 x + y 2 - 2 y + x = 0   → u 2 + v = 0

Nos planos u v , essas expressões definem a seguinte região:

A curva vermelha e a azul são parábolas viradas para baixo.

Passo 4

Vamos, agora, escrever esse domínio como tipo I (em cima e embaixo temos funções e à esquerda e à direita demos números). Como podemos ver, u varia de 0 a 1 , portanto:

0 ≤ u ≤ 1

A variável v está entre a curva vermelha v = - 3 - u 2 e azul v = - u 2 , assim temos:

- 3 - u 2 ≤ v ≤ - u 2

Passo 5

Agora vamos montar a nova integral, substituindo os valores de u e v :

∫ 0 1   ∫ - 3 - u 2 - u 2 u   s e n   v   1 5 d v d u =

Passo 6

Integraremos, então, em relação a v :

= 1 5 ∫ 0 1 - cos ⁡ v   u v = - 3 - u 2 v = - u 2 d u =

= - 1 5 ∫ 0 1 u ( cos ⁡ ( - u 2 ) - cos ⁡ ( - 3 - u 2 ) )   d u =

Passo 7

Para terminar a integração, faremos a substituição u 2 = k , temos

2 u d u = d k → u d u = d k 2

Assim, conseguimos “eliminar” esse termo u que multiplica os cossenos. Vamos reorganizar aqui nossa integral:

- 1 5 ∫ 0 1 ( cos ⁡ ( - u 2 ⏟ - k ) - cos ⁡ ( - 3 - u 2 ⏟ - 3 - k ) ) u d u ⏟ d k / 2 =

Passando o sinal de menos pra dentro, invertemos a ordem da subtração

= 1 5 ∫ 0 1 cos ⁡ - 3 - k - cos ⁡ - k d k 2 =

= 1 5 . 1 2 ∫ 0 1 ( cos ⁡ - 3 - k - cos ⁡ - k ) d k =

= 1 10 ∫ 0 1 ( cos ⁡ - 3 - k - cos ⁡ ( - k ) )   d k =

= 1 10 ( - s e n - 3 - k + s e n - k ) k = 0 k = 1 =

= 1 10 ( s e n 3 + k - s e n k ) k = 0 k = 1 =

= 1 10 ( s e n 4 - s e n 1 - ( s e n   3 - s e n 0 ) =

Resposta

= 1 10 [ s e n   4 - s e n   1 - s e n   3 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação. x = v + w 2 , y = w + u 2 ,z = u + v 2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .