Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2017.1, Questão 1

Calcule a integral dupla

R   y 4 - x 4 d x d y

Onde R é a região, no primeiro quadrante, limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 9 , y = x , e y = x + 1 .

Passo 1

Vamos esboçar no plano cartesiano essas 4 curvas que delimitam a nossa região. Repare que x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 representam circunferências de centro na origem, sendo a primeira de raio 1 e a segunda, raio 3.

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Passo 2

Repare bem que a região que vamos calcular a integral não é muito amigável de se definir em termos de x e y , logo, vamos tentar realizar uma mudança de variável. Belaza, mas qual é a mudança de variável que nos ajudaria?

Bem... vejamos as equações das nossas curvas:

x 2 + y 2 = 1                                           y - x = 0

            x 2 + y 2 = 9                                       y - x = 1

Repare que essas curvas são bem parecidas umas com as outras nos possibilitando fazer a seguinte mudança:

x 2 + y 2 = u                               y - x = v

Onde os limites de u e v ficam sendo

1 u 9

0 v 1

Passo 3

Vamos agora encontrar o Jacobiano J da nossa mudança de coordenadas.

Como temos as nossas novas variáveis em termos das nossas antigas, ficará mais fácil calcular o jacobiano inverso J *

J * = u x u y v x v y = 2 x 2 y - 1 1 = 2 x + 2 y = 2 ( x + y )

Porém, não nos interessa muito o Jacobiano inverso e sim o módulo do jacobiano. Não tem problema, pois a gente sabe que   J = 1 J *

J = 1 J * = 1 2 x + y

Porém a gente sabe que a região R está no primeiro quadrante, logo

J = 1 2 x + y

Passo 4

Se a gente está fazendo uma mudança de coordenadas, não podemos deixar de mudar as variáveis da função, correto? Então vem comigo

A nossa função de integração é dada por

f x , y = y 4 - x 4

Podemos separar essa subtração no seguinte produto notável

f x , y = y 4 - x 4 = y 2 + x 2 y 2 - x 2 = ( y 2 + x 2 ) ( y - x ) ( y + x )

Repare que os dois primeiros termos desse produto final temos uma substituição direta. Mas o que vamos fazer para substituir esse ( y + x ) ?

Nós não vamos substituir e sabe o porquê?

Por que quando fazemos uma mudança de variável, não estamos interessados na função pura, e sim no produto dela pelo jacobiano

f x , y . J = y 2 + x 2 y - x y + x 2 x + y = y 2 + x 2 y - x 2

Viu! Aquele termo desaparece! :) Agora podemos substituir direto

f x ( u , v ) , y u , v . J = y 2 + x 2 y - x 2 = u v 2

Passo 5

Só nos resta montar a integral e atacar! Bora lá? :)

R   y 4 - x 4 d x d y = R u v   f x ( u , v ) , y u , v . J d u d v = 0 1 1 9 u v 2 d u d v

Resolvendo a integral de dentro e depois substituindo na de fora obteremos:

0 1 v 2 u 2 2 1 9 d v = 0 1 v 2 81 2 - 1 2 d v = 0 1 80 v 4 d v = 20 0 1 v   d v

20 v 2 2 0 1 = 10

Resposta

R y 4 - x 4 d x d y = 10

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