Calcule a integral

∬ R s e n 9 x 2 + 4 y 2 d A

Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 1 . Use a mudança de variáveis u = 3 x   e   v = 2 y .

Passo 1

Bom, se pediram pra a gente fazer essas mudanças de variáveis, quem somos nós pra dizer que não, né?

x = u 3 y = v 2

Não vamos esquecer, poooor favor, o jacobiano.

J = ∂ x , y ∂ u , v = 1 6

Passo 2

Logo ficamos com

∬ R s e n 9 x 2 + 4 y 2 d A =   ∬ R u v s e n u 2 + v 2 1 6 d u d v

Daqui a gente muda mais pra coordenadas polares! Vê o ( u 2 + v 2 )?! É o sinal! (Por favor, mais uma vez, não esquece o Jacobiano. Já pensou deixar de ganhar os pontos da questão por conta dessa bobeira? Mas vamos lá que já está acabando)

Lembra que a gente quer o primeiro quadrante, beleza? Então π 2 ≤ θ ≤ 0 e 1 ≤ r ≤ 0 .

1 6 ( ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 s e n r 2 r d r d θ ) =

1 6 . π 2 ∫ 0 1 s e n r 2 r d r d θ =

Bora fazer uma substituição simples aqui, onde p = r 2 e correr pra o abraço.

π 12 . 1 2 ∫ 0 1 s e n p d p =

= π 24 . ( 1 - cos ⁡ 1 )

Resposta

π 24 . ( 1 - cos ⁡ 1 )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação. x = v + w 2 , y = w + u 2 ,z = u + v 2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .