Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFPE, Calculo 2, 3º EE - 2018.2, Questão 3

Calcule a integral

R s e n 9 x 2 + 4 y 2 d A

Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 1 . Use a mudança de variáveis u = 3 x   e   v = 2 y .

Passo 1

Bom, se pediram pra a gente fazer essas mudanças de variáveis, quem somos nós pra dizer que não, né?

x = u 3 y = v 2

Não vamos esquecer, poooor favor, o jacobiano.

J = x , y u , v = 1 6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Logo ficamos com

R s e n 9 x 2 + 4 y 2 d A =   R u v s e n u 2 + v 2 1 6 d u d v

Daqui a gente muda mais pra coordenadas polares! Vê o ( u 2 + v 2 )?! É o sinal! (Por favor, mais uma vez, não esquece o Jacobiano. Já pensou deixar de ganhar os pontos da questão por conta dessa bobeira? Mas vamos lá que já está acabando)

Lembra que a gente quer o primeiro quadrante, beleza? Então π 2 θ 0 e 1 r 0 .

1 6 ( 0 π 2 0 1 s e n r 2 r d r d θ ) =

1 6 . π 2 0 1 s e n r 2 r d r d θ =

Bora fazer uma substituição simples aqui, onde p = r 2 e correr pra o abraço.

π 12 . 1 2 0 1 s e n p d p =

= π 24 . ( 1 - cos 1 )

Resposta

π 24 . ( 1 - cos 1 )

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