Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

USP, Cálculo 3, P1 - 2011, Questão 1b

Calcule D   x y 2 s e n ( x y ) d x d y , onde D é limitado por x y = 1 , x y = 2 , x y 2 = 1 , x y 2 = 2 .

Passo 1

Bom, não dá para integrar isso aí direto, né? Precisamos mexer em alguma coisa nessa integral. Vamos parar para pensar um pouco aqui, tentar encontrar uma substituição que simplifique nossas vidas.

Percebeu que o termo x y aparece algumas vezes nessa questão, não é? Vamos chamar ele de u :

x y = u

Bom, como as equações que definem a região de integração envolvem x y e x y 2 , vamos fazer:

y = v

Pois x y 2 = u v , ok?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As equações que limitam D passam a ser:

u = 1

u = 2

u v = 1                       v = 1 u

u v = 2                       v = 2 u

Logo, nossa região de integração no plano u v é 1 u 2 , 1 u v 2 u .

Passo 3

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação, temos:

y = v

x = u y = u v

Isso nos dá

x u = 1 v

x v = - u v 2

y u = 0

y v = 1

J = ( x , y ) ( u , v )     = x u x v y u y v

J = 1 v u v 2 0 1 = 1 v

Passo 4

Fazendo a substituição na integral, temos, então:

D   x y 2   s e n ( x y ) d x d y = 1 2 1 / u 2 / u u v v 2   s e n u 1 v   d v d u

= 1 2 1 / u 2 / u u   s e n u   d v d u =

Passo 5

Integrando em relação a v , temos:

= 1 2 u v   s e n ( u ) 1 / u 2 / u d u =

= 1 2 s e n ( u ) d u =

Passo 6

Agora integramos em relação a u :

= - cos u 1 2 =

= - cos 2 - cos 1 =

= cos 1 - cos 2

Resposta

cos 1 - cos 2

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