Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UNICAMP - Cálculo 2 - P2 2013 Manhã – 4

Calcule

R   y - 2 x 3 y + 2 x d A

Onde R é o paralelogramo de vértices ( 1,2 ) , ( 2,4 ) , ( 5,2 ) e ( 4,0 ) .

Sugestão: faça uma mudança de variáveis conveniente.

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.

Esse é o paralelogramo da questão. Bom, vamos começar encontrando as equações dessas retas que limitam nossa região. Sabendo que a equação geral da reta y = a x + b , vamos substituir os pontos que definem cada um desses segmentos para encontrar as equações.

Para o segmento vermelho

Substituindo os pontos ( 1,2 ) e ( 2,4 ) , temos:

2 = a + b 4 = 2 a + b

a = 2

b = 0

Temos portanto a equação

y = 2 x

Para o segmento verde

Substituindo os pontos ( 2,4 ) e ( 5,2 ) , temos:

4 = 2 a + b 2 = 5 a + b

a = - 2 3

b = 16 3

Temos portanto a equação

y = - 2 x 3 + 16 3

Para o segmento azul

Substituindo os pontos ( 5,2 ) e ( 4,0 ) , temos:

2 = 5 a + b 0 = 4 a + b

a = 2

b = - 8

Temos portanto a equação

y = 2 x - 8

Para o segmento amarelo

Substituindo os pontos ( 1,2 ) e ( 4,0 ) , temos:

2 = a + b 0 = 4 a + b

a = - 2 3

b = 8 3

Temos portanto a equação

y = - 2 x 3 + 8 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, e agora? Percebeu que escrever essa região tanto como tipo I ou II vai dar um trabalhinho, não é? Vamos pensar um pouco, repara nas equações das retas que encontramos:

y = 2 x

y = - 2 x 3 + 16 3

y = 2 x - 8

y = - 2 x 3 + 8 3

Já deu para ver alguma semelhança aí, né? Vamos reescrever essas equações:

y - 2 x = 0

y + 2 x 3 = 16 3

y - 2 x = - 8

y + 2 x 3 = 8 3

Vamos agora chamar:

y - 2 x = u

y + 2 x 3 = v

Calma, você já vai entender o porquê disso! Aplicando nas equações, temos:

u = 0

v = 16 3

u = - 8

v = 8 3

Com essa mudança de variáveis, essas são as equações que passam a limitar nossa região, bem mais bonito, não é? O que nós fizemos, basicamente, foi transformar o nosso paralelogramo do plano x y em um retângulo bonitinho no plano u v . Por isso que os intervalos passaram a ser números.

Bom, no plano u v podemos então descrever a região como

D = x , y - 8 u 0 ; 8 3 v 16 3

Passo 3

Bom, mas como tudo na vida tem um preço, não poderia ser tão simples assim né.

Temos que calcular o Jacobiano dessa transformação, lembra?

J = ( x , y ) ( u , v ) = x u x v y u y v

Temos:

y - 2 x = u

y + 2 x 3 = v

Isso nos dá

x = 3 8 ( v - u )

y = 3 v 4 + u 4

x u = - 3 8

x v = 3 8

y u = 1 4

y v = 3 4

J = - 3 8 3 8 1 4 3 4 = - 3 8 3 4 - 1 4 × 3 8   = - 12 32 = - 3 8

Passo 4

Beleza, agora vamos montar a integral:

R   y - 2 x 3 y + 2 x d A

Nas novas variáveis

y - 2 x = u

y + 2 x 3 = v

Temos, então

= 3 8 R *   u 3 v d A =

Show? Lembrando que temos que levar para a integral o módulo do Jacobiano.

Aplicando os intervalos que encontramos:

= 1 8 8 3 16 3 - 8 0 u v   d u d v =

Passo 5

Agora é só resolver isso aí

= 1 16 8 3 16 3 u 2 v - 8 0 d v =

= - 1 16 8 3 16 3 64 v d v =

= - 4 8 3 16 3 1 v d v =

= - 4 ln v 8 / 3 16 / 3 =

= - 4 ln 16 3 - ln 8 3 =

= - 4 ln 16 8

= - 4 ln 2

Resposta

- 4 ln 2

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