Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 185, adaptado.

Calcule D   y + 2 x y - 2 x - 1 d x   d y onde D é a região do plano x y limitada pelas retas y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .

Passo 1

Como temos os termos ( y + 2 x ) e ( y - 2 x ) tanto na integral quanto nos limites da região, vamos fazer a seguinte substituição:

u = y + 2 x

v = y - 2 x

O que podemos reescrever como y = u + v 2 e x = u - v 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos J = ( x , y ) ( u , v )     = x u x v y u y v

x u = 1 4

x v = - 1 4

y u = 1 2

y v = 1 2

J = 1 4 - 1 4 1 2 1 2 = 1 8 + 1 8 = 1 4

Fazendo a substituição na integral, temos, então:

1 4 D *   u v - 1 d u   d v

Passo 3

Vamos, agora, analisar a nova região de integração, teremos:

y - 2 x = 2   v = 2

y + 2 x = 2   u = 2

y - 2 x = 1   v = 1

y + 2 x = 1   u = 1

Assim, a integral iterada passa a ser:

1 4 1 2 1 2 u v - 1 d u   d v =

Passo 4

Integrando em relação a u , temos:

= 1 8 1 2 u 2 v - 1 u = 1 u = 2 d v =

= 3 8 1 2 1 v - 1 d v =

Passo 5

Para concluir a integração, vamos chamar v - 1 = k , d v = d k . Nessa variável, os limites ficam:

v = 1 k = 1 - 1 = 0

v = 2 k = 2 - 1 = 1

Então, a gente pode reescrever a integral como:

= 3 8 0 1 k - 1 2 d k =

= 3 8 2 k 1 2 0 1 =

= 3 4 ( 1 - 0 ) =

Resposta

3 4

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