Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2015.2, Questão 1

Calcule D x + y 2 x + 1 d x d y onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y limitada pelas curvas y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2

Passo 1

Vamos começar analisando a região de integração: o enunciado diz que a região é limitada por duas retas x + y = 1 e x + y = 2 e por duas parábolas, y = x 2 e y = x 2 + 1 .

Perceba que os termos x + y e y = x 2 se repetem nos limites, certo? Vamos pensar em uma substituição que nos ajude aqui. Organizando as equações das parábolas:

y = x 2 y - x 2 = 0

y = x 2 + 1 y - x 2 = 1

Portanto, considerando as retas x + y = 1 e x + y = 2 e as parábolas y - x 2 = 0 e y - x 2 = 1 , podemos fazer essa substituição aqui

u = x + y

v = y - x 2

Pra fazer isso lembra do que precisamos? Do jacobiano! Nunca se esqueça dele hein!

J = ( x , y ) ( u , v ) = x u x v y u y v

Mas lembre-se dessa definição aqui

J = 1 J '

Onde

J ' = ( u , v ) ( x , y ) = u x u y v x v y

Vai ficar mais fácil derivar assim, vem comigo!

u = x + y

u x = 1

u y = 1

v = y - x 2

v x = - 2 x

v y = 1

J ' = 1 1 - 2 x 1 = 1 - - 2 x = 1 + 2 x

Finalizando, o jacobiano é o inverso disso, logo

J = 1 J ' = 1 1 + 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, agora que já está tudo organizado, vamos ver os limites de u e v . A região de integração vai de x + y = 1 até x + y = 2 , logo

x + y = 1 u = 1

x + y = 2 u = 2

1 u 2

Olhando pras parábolas, a região vai de y - x 2 = 0 até y - x 2 = 1 , logo

y - x 2 = 0 v = 0

y - x 2 = 1 v = 1

0 v 1

Passo 3

Vamos colocar tudo logo na integral pra ver como fica

D x + y 2 x + 1 d x d y

Colocando o jacobiano e mudando as variáveis

0 1 1 2 x + y u 2 x + 1 1 2 x + 1 J a c o b i a n o d u d v

Olha só! O termo x + y aparece de novo, lembra que definimos u = x + y . Além disso, o jacobiano corta com o 2 x + 1 que tava dentro da integral!

Vai ficar bem mais simples a integral

0 1 1 2 u d u d v

Passo 4

Agora é só integrar! Vamos lá?

0 1 u 2 2 u = 1 u = 2 d v = 0 1 4 - 1 2 d v

= 0 1 3 2 d v

= 3 2 v v = 0 v = 1

= 3 2

Resposta

3 2

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