Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2016.1, Questão 1

Calcule

D cos y - x x + y d A

Onde D é a região trapezoidal com vértices 1,0 , 2,0 , 0,2 e 0,1 .

Passo 1

Bem, dá pra ver que esse termo dentro do cosseno não tá muito agradavel... Mas vamos tentar então uma mudança de variável que se a gente conseguir fazer

u = y - x

v = x + y

Fica cos u v que aí é molezinha.

Só temos que ver se nosso domínio ajuda, então vamos ver como que fica isso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se marcarmos os pontos e fizermos um esboço do nosso domínio, a gente fica com:

Ou seja temos as retas:

y = 0

x = 0

y = 1 - x x + y = 1

y = 2 - x x + y = 2

O que já ajuda, porque essas duas últimas aí vão fica, com a nossa transformação:

v = 1

v = 2

As outras duas também não é muito díficil de ver porque se jogarmos naquelas nossas equações lá em cima, vamos ficar com:

Para y = 0 :

u = 0 - x u = - x

v = x + 0 v = x

Então u = - v .

A mesma coisa a gente faz para x = 0 :

u = y - 0 u = y

v = 0 + y v = y

Então u = v .

Nosso domínio fica 1 v 2 , - v u v .

Passo 3

Agora vamos calcular o jacobiano, mas como temos o u e v isolados, ao invés de x e y , vamos calcular primeiro o J * :

J * = u , v x , y

u x = - 1       u y = 1

v x = 1       v y = 1

J * = - 1 1 1 1 = - 1 - 1 = - 2 = 2

E vamos lembrar que:

J = 1 J * = 1 2

Então pra integral, vai ficar:

D cos y - x x + y d A = 1 2 - v v cos u v 1 2 d u d v

E agora á só calcular!

Passo 4

É só integrar primeiro em u :

1 2 1 2 v sen u v - v v d v = 1 2 1 2 v sen v v - sen - v v d v

1 2 1 2 v sen 1 - sen - 1 d v

E agora integramos em v :

sen 1 - sen - 1 2 v 2 2 1 2 = sen 1 - sen - 1 2 4 - 1 2

3 sen 1 - sen - 1 4

Já tá tudo resolvido, mas só ora ficar bonitinho, vamos lembrar que sen - θ = - sen θ , então:

3 4 sen 1 - - sen 1 = 3 4 2 sen 1

3 2 sen 1

Seno de 1, que resposta é essa, ne??

Mas acontece, se eles querem ficar botando gabarito maluco assim, a gente não tem o que fazer, o que importa é que essa é a resposta!

Resposta

3 2 sen 1

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