Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

USP, Cálculo 3, P1 - 2013, Questão 2a

Calcule

B   x y 2 d x d y

Onde

B = { ( x , y ) R : 1 x y 2 ,   x 2 y 2 x 2 }

Sugestão: considere a mudança de variáveis satisfazendo u = y x 2 e v = x y .

Passo 1

Bom, como o problema já disse a susbtituição que devemos fazer, vamos calcular o jacobiano dessa transformação.

Nesse caso, escrever as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v é meio chato. Vamos usar então um recurso pra facilitar a vida, em vez de calcular ( x , y ) ( u , v ) = J , vamos calcular ( u , v ) ( x , y ) = J * (que é o inverso do Jacobiano que queremos).

J * = u x u y v x v y

Temos, então:

u x = - 2 y x 3

u y = 1 x 2

v x = y

v y = x

J * = - 2 y x 3 1 x 2 y x = - 2 y x 2 - y x 2 = - 3 y x 2

Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:

J = 1 | J * | = - x 2 3 y

Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de u e v , as nossas novas variáveis. Como u = y x 2 , ficou fácil, né?

J = 1 3 u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular os novos intervalos. Temos: B = { ( x , y ) R : 1 x y 2 ,   x 2 y 2 x 2 }

Com a seguinte substituição:

u = y x 2

v = x y

O que nos dá:

1 v 2

Escrevendo

1 y x 2 2

Temos que

1 u 2

Bem mais simples, né? Temos seguinte região:

B * = { ( x , y ) R : 1 u 2 ,   1 v 2 }

Passo 3

Agora vamos montar a nova integral em termos de u e v :

B   x y 2 d x d y

Sabemos que u = y x 2 e v = x y , logo, podemos escrever:

x y 2 = 1 u v = x 2 y . 1 x y

nOssa integral fica então:

= 1 2   1 2 1 u v 1 3 u d u d v =

Não se esqueça do jacobiano!

= 1 3 1 2   1 2 1 u 2 v d u d v =

Passo 4

Integraremos, então, em relação a u :

= - 1 3 1 2   1 u v 1 2 d v =

= - 1 3 1 2 1 v 1 2 - 1 d v =

= 1 6 1 2 1 v d v =

Passo 5

Agora em relação a v :

= 1 6 ln v 1 2 =

= ln 2 6

Resposta

ln 2 6

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas