Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 24a

Calcule a seguinte integral:

0 2 y 2 y + 4 2 y 3 2 x - y e 2 x - y 2 d x d y

Passo 1

Bem, essa integral parece esquisita e difícil de calcular, né?

Então vamos tentar fazer uma mudança de váriavel pra ver se simplifica as coisas. Seria muito bom se uma das variáveis fosse u = 2 x - y , mas vamos entender a região primeiro pra ver se dá pra fazer assim mesmo.

A gente tem uma região do tipo 2 , com 0 y 2 e y 2 x y + 4 2 :

Mas essas retas x = y 2 e x = y + 4 2 são exatamente:

  x = y 2 2 x - y = 0

x = y + 4 2 2 x - y = 4

Então a transformação u = 2 x - y é sim muito conveniente, a outra pode ser v = y mesmo já que ele aparece na integral e tem seus limites constantes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos ficar com:

2 x - y = 0 u = 0

2 x - y = 4 u = 4

0 u 4

0 v 2

E o jacobiano a gente calcula a partir de J * , já que temos as variáveis u e v isoladas, ao invés de x e y :

J * = ( u , v ) ( x , y )     = u x u y v x v y

u x = 2           u y = - 1

v x = 0         v y = 1

J * = 2 - 1 0 1 = 2

Então, temos:

J = 1 J * J = 1 2

E nossa integral fica:

0 2 y 2 y + 4 2 y 3 2 x - y e 2 x - y 2 d x d y = 0 2 0 4 v 3 u e u 2 1 2   d u d v

Passo 3

Calculando, chegamos em:

1 2 0 2 v 3 d v 0 4 u e u 2 d u

1 2 v 4 4 0 2 0 4 u e u 2 d u = 2 0 4 u e u 2 d u

Que a gente resolve fazendo a substituição:

t = u 2 d t = 2 u   d u

Então:

e u 2 2 u   d u = e t d t

e t = e u 2

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

e u 2 0 4 = e 4 2 - e 0 2

e 16 - 1

Resposta

e 16 - 1

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