Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 24g

Calcule a seguinte integral

D x 2 + y 2 d x d y

D é a região do primeiro quadrante, limitada por x 2 - y 2 = 1 , x 2 - y 2 = 9 , x y = 1 e x y = 3

Passo 1

Repara que temos x 2 - y 2 e x y na definição de D , ou seja, vai interferir nos limites de integração então vamos fazer

u = x 2 - y 2

v = x y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Nesse caso, escrever as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v não é muito simples. Por isso, vamos usar um recurso para facilitar nossa vida, em vez de calcular ( x , y ) ( u , v ) = J , vamos calcular ( u , v ) ( x , y ) = J * (que é o inverso do Jacobiano que queremos).

J * = u x u y v x v y

Temos, então:

u x = 2 x

u y = - 2 y

v x = y

v y = x

J * = 2 x - 2 y y x = 2 x 2 + 2 y 2

Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:

J = 1 J * = 1 2 x 2 + y 2

Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de u e v, mas vamos deixar ele em x e y por enquanto, escrever essa expressão em função de u e v é levemente bem complicado rs, mas isso não vai interferir quando colocamos na integral, que tem x 2 + y 2 , elas vão simplificar então vamos deixar assim.

Passo 3

Agora precisamos descobrir os intervalos de integração no domínio D * .

x 2 - y 2 = 1 u = 1

x y = 1 v = 1

x 2 - y 2 = 9 u = 9

x y = 3 v = 3

Muito mais simples, não é?

A integral então fica

1 3 1 9 x 2 + y 2 1 2 x 2 + y 2 d u d v = 1 3 1 9 1 2 d u d v

Passo 4

Vamos resolver essa integral

1 3 1 9 1 2 d u d v = 1 3 1 2 9 - 1 d v = 1 3 8 2 d v = 4 1 3 d v = 4 3 - 1 = 4 2 = 8

Resposta

8

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