Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 24c

Calcule a seguinte integral

D y 2 e x y x d A

D é a região do primeiro quadrante, limitada pelas parábolas x 2 y = 1 , y 2 x = 1 , x 2 = 4 y e y 2 = 4 x

Passo 1

Repara que temos y 2 / x e x 2 / y nos limites de integração então vamos fazer

u = y 2 x

v = x 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Nesse caso, escrever as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v não é muito simples. Por isso, vamos usar um recurso para facilitar nossa vida, em vez de calcular ( x , y ) ( u , v ) = J , vamos calcular ( u , v ) ( x , y ) = J * (que é o inverso do Jacobiano que queremos).

J * = u x u y v x v y

Temos, então:

u x = - y 2 x 2

u y = 2 y x

v x = 2 x y

v y = - x 2 y 2

J * = - y 2 x 2 2 y x 2 x y - x 2 y 2 = - y 2 x 2 - x 2 y 2 - 2 y x 2 x y = 1 - 4 = - 3

Sempre pegamos o jacobiano positivo, então

J * = 3

Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:

J = 1 J * = 1 3

Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de u e v, mas como ele é um número temos ele certinho

J = 1 3

Passo 3

Agora precisamos descobrir os intervalos de integração no domínio D * .

x 2 y = 1 v = 1

y 2 x = 1 u = 1

x 2 = 4 y x 2 y = 4 v = 4

y 2 = 4 x y 2 x = 4 u = 4

Muito mais simples, não é? Para a integral iterada precisamos escrever x y em função de u e v , repara que temos

u v = y 2 x x 2 y

u v = x y

A integral então fica

1 4 1 4 u e u v - 1 3 d u d v

Passo 4

Vamos resolver essa integral

1 4 1 4 u e u v - 1 3 d u d v = 1 3 1 4 1 4 u e u v d u d v

Vamos mudar a ordem porque a integral fica mais fácil, fazer primeiro em v

1 3 1 4 1 4 u e u v d v d u = 1 3 1 4 u e u v u v = 1 v = 4 d u = 1 3 1 4 u e 4 u u - e 1 u u d u

1 3 1 4 e 4 u - e u d u = 1 3 e 4 u 4 - e u u = 1 u = 4 = 1 3 e 4 4 4 - e 4 - e 4 1 4 - e 1

1 3 e 16 4 - e 4 - e 4 4 - e 1 = 1 3 e 16 4 - e 4 - e 4 4 + e 1 = 1 3 e 16 4 - 5 e 4 4 + e

Resposta

1 3 e 16 4 - 5 e 4 4 + e

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