Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

USP, Cálculo 3, P1 - 2016, Questão 1b

Calcule

D 3 x + 2 y 2 cos 9 x 2 - 4 y 2 d x d y

Sendo D a região do plano limitada por 3 x + 2 y = 1 , 3 x + 2 y = 2 , x = 0 , y = 0 .

Passo 1

Parece bem difícil essa integral né? Mas perceba que o termo ( 3 x + 2 y ) aparece tanto na integral quanto nos limites de integração, isso já nos faz imaginar que vamos ter que fazer uma mudança de variável!

O que vamos fazer agora é a parte chave da questão! Escolher as novas variáveis da forma certa vai facilitar muito nosso trabalho, precisamos analisar tudo no nosso enunciado antes de tomar uma decisão.

Perceba que o outro termo da integral, 9 x 2 - 4 y 2 , pode ser escrito novamente da seguinte forma:

9 x 2 - 4 y 2 = ( 3 x + 2 y ) ( 3 x - 2 y )

Ótimo! Nosso termo ( 3 x + 2 y ) apareceu de novo, só que multiplicado por ( 3 x - 2 y ) . Não é problema, só fazer:

u = 3 x + 2 y

v = 3 x - 2 y

Somando as duas equações:

u + v = 6 x x = u + v 6

y = u - v 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que escolhemos nossas novas variáveis, o próximo passo é calcular o jacobiano:

J = δ x , y δ u , v = δ x δ u δ x δ v δ y δ u δ y δ v = 1 6 1 6 1 4 - 1 4

J = - 1 24 - 1 24 = - 1 12

Só que lembra que jacobiano sempre é positivo! Logo

J = 1 12

Passo 3

Vamos descobrir nossos limites em u e v , é só substituir nossas variáveis nos limites que tínhamos antes:

3 x + 2 y = 1 u = 1

3 x + 2 y = 2 u = 2

x = 0 u + v 6 = 0 u = - v

y = 0 u - v 4 = 0 u = v

No gráfico vamos ter:

Portanto, temos nossos novos limites como:

- u v u

1 u 2

Passo 4

Reescrevendo nossa integral com os novos limites e o jacobiano:

1 2 - u u u 2 cos u v d v d u 12  

Passo 5

Vamos integrar em v primeiro então:

1 12 1 2 u 2 sen u v u v = - u v = u d u = 1 12 1 2 u sen u 2 - sen - u 2 d u

Para facilitar nossas contas, vamos usar a relação que diz que sen ( - x ) = - sen x

1 12 1 2 u sen u 2 + sen u 2 d u = 1 6   1 2 u sen ( u 2 ) d u

Integrando em u agora, vamos fazer uma substituição rápida:

u 2 = p

2 u   d u = d p u d u = d p 2

= 1 6 u = 1 u = 2 sen p   d p 2 = 1 12 - cos u 2 u = 1 u = 2

= 1 12 - cos 2 2 - cos 1 2 = cos 1 - cos 4 12

Resposta

cos 1 - cos 4 12

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas