Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 185, adaptado.

Considere a aplicação g definida por:

x = u + v

y = v - u 2

Utilizando g , calcule D   x - y + 1 4 - 1 2 d x d y , onde D é a imagem no plano x y da região Q no plano u v limitada pelas retas u = 0 , v = 0 e u + v = 2 .

Passo 1

Como o enunciado já disse as substituições que devemos fazer, precisamos agora calcular o Jacobiano dessa transformação. Já temos x e y escritos em função de u e v , não é?

x = u + v

y = v - u 2

Temos J = ( x , y ) ( u , v )     = x u x v y u y v

x u = 1

x v = 1

y u = - 2 u

y v = 1

J = 1 1 - 2 u 1 = 1 1 - 1 - 2 u = 1 + 2 u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que, no plano x y , a região de integração é dada por D , como está na integral do problema. Passando as coordenadas para u e v , a região passa a ser Q , como o próprio enunciado diz. Agora vamos fazer as substituições na integral:

Q     u + v - v - u 2 + 1 4 - 1 2 ( 1 + 2 u ) d u d v =

= Q   u + u 2 + 1 4 - 1 2 ( 1 + 2 u ) d u d v =

= Q   u + 1 2 2 - 1 2 ( 1 + 2 u ) d u d v =

= Q   u + 1 2 - 1 ( 1 + 2 u ) d u d v =

= Q   2 u + 1 2 - 1 ( 1 + 2 u ) d u d v =

= Q   2 2 u + 1 1 + 2 u d u d v =

Q   2   d u d v

Passo 3

Agora precisamos descrever essa região Q , limitada por u = 0 , v = 0 e u + v = 2 no plano u v . Vamos fazer um esboço.

Podemos descrevê-la como região do tipo I, com 0 u 2 e 0 v 2 - u . A integral iterada será:

0 2 0 2 - u 2   d v d u =

Passo 4

Integrando em relação a v , temos:

= 0 2 2 v v = 0 v = 2 - u d u =

= 0 2 2 2 - u d u =

= 0 2 4 - 2 u   d u =

Passo 5

Integrando, agora, em relação a u :

= 4 u - u 2 0 2 =

= 8 - 4 =

Resposta

4

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