Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2014.1, Questão 2abc

Considere D = x , y R 2 : 2 x 2 + y 2 4 , x 0 , y 0 e I a integral dada por

I = D x y d x d y

  1. Usando mudança de variáveis T u , v = u , v , encontre a região D * tal que T D * = D e esboce D e D *
  2. Determine a matriz jacobiana D T u , v
  3. Calcule a integral dada usando a fórmula de mudança de variáveis para T . Justifique.

Passo 1

a )

Vamos começar entendo como é a região D . Consegue perceber que temos duas circunferências?

x 2 + y 2 = 4

Essa tem raio 2 e centro em 0,0

x 2 + y 2 = 2

Essa tem raio 2 e centro em 0,0

A região D vai ser a região interna a circunferência maior e externa a circunferência menor, conseguimos ver isso pela desigualdade das equações. Além disso, vamos ter x 0 e y 0 , então estamos pegando a parte do 1 º quadrante. O seu gráfico vai ficar

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer agora a substituição

x = u

y = v

Vamos ter

2 u + v 4

Vamos continuar tendo a limitação do primeiro quadrante, porque para x 0 e y 0 temos u 0 e v 0 , a diferença é que em vez de circunferências, vamos ter retas.

u + v = 4

u + v = 2

A região vai ser entre essas duas retas

O gráfico de D * vai ficar

Passo 3

b )

Temos J = ( x , y ) ( u , v )     = x u x v y u y v

x u = 1 2 u

x v = 0

y u = 0

y v = 1 2 v

J = 1 2 u 0 0 1 2 v = 1 2 u 1 2 v = 1 4 u v

Passo 4

c )

Vamos agora achar a integral que ele pediu. Para isso precisamos achar os intervalo que varia u e v , um vai ser limitado por números, e outro por funções. Vamos limitar u por números. Conseguimos ver pelo gráfico que u vai de 0 à 4 .

O problema é o valor de v , olha como na verdade é

São duas partes, uma onde v vai de uma reta, no caso u + v = 2 , até a outra, u + v = 4 . E a outra parte v vai de 0 até a reta u + v = 4 .

Na primeira parte o valor de u vai de 0 à 2 , e na segunda parte o valor de u vai de 2 à 4.

Vamos ter

D 1 * = u , v R 2 0 u 2 ,   2 - u v 4 - u

E

D 2 * = u , v R 2 2 u 4 ,   0 v 4 - u

Passo 5

A integral vai ficar

I = D x y d x d y = D * u v 1 4 u v d v d u = 1 4 D * d v d u = 1 4 D 1 * d v d u + 1 4 D 2 * d v d u

I = 1 4 0 2 2 - u 4 - u   d v d u + 1 4 2 4 0 4 - u   d v d u = 1 4 0 2 4 - u - 2 - u d u + 1 4 2 4 4 - u - 0 d u

I = 1 4 0 2 2 d u + 1 4 2 4 4 - u d u = 1 4 0 2 2 d u + 1 4 2 4 4 - u d u

I = 1 4 2 u u = 0 2 + 1 4 4 u - u 2 2 u = 2 4 = 1 4 4 + 1 4 4.4 - 4 2 2 - 4.2 - 2 2 2

I = 1 + 1 4 16 - 8 - 8 + 2 = 1 + 1 4 2 = 1 + 1 2 = 3 2

Resposta

  1. J = 1 4 u v
  2. I = 3 2

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