Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2012.2, Questão 3

Considere a integral

R   x + y e x 2 - y 2 d x d y

Onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - y = 0 , x - y = 2 , x + y = 0 e x + y = 3 .

  1. Escolha uma mudança de variáveis x , y = T ( u , v ) apropriada (note que x 2 - y 2 = ( x + y ) ( x - y ) . Calcule a derivada D T ( u , v ) .
  2. Esboce cuidadosamente as regiões de integração R * , onde R = T ( R * ) .
  3. Calcule a integral usando a fórmula de mudança de variáveis.

Passo 1

Letra a)

Bom, reparou que ( x + y ) e ( x - y ) aparecem 300 vezes nessa questão, né? Então é essa mudança que vamos fazer:

x + y = u

x - y = v

Beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, se vamos fazer um mudança de variáveis, precisamos calcular o Jabobiano disso aí. Temos a transformação:

x = u + v 2

y = u - v 2

x , y = T u , v = u + v 2 , u - v 2

O que nos dá

x u = 1 2

x v = 1 2

y u = 1 2

y v = - 1 2

Como

J = ( x , y ) ( u , v )     = x u x v y u y v

J = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 = 1 4 + 1 4 = 1 2

J = 1 2

Passo 3

Letra b)

Agora temos que descobrir nossa região de integração no plano u v . Sabemos que R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - y = 0 , x - y = 2 , x + y = 0 e x + y = 3 . Fazendo a mudança de variáveis nessas equações, temos:

v = 0

v = 2

u = 0

u = 3

Graficamente

A região de integração é o interior desse retângulo.

Passo 4

Letra c)

Show, agora vamos escrever matematicamente essa região. Podemos ver pela figura que:

0 u 3

0 v 2

Passo 5

Agora vamos fazer a mudança na nossa integral.

R   x + y e x 2 - y 2 d x d y = R   x + y e ( x + y ) ( x - y ) d x d y

= 0 3 0 2 u   e u v 1 2   d v d u =

Não se esqueça do Jacobiano!

E resolver isso aí:

= 1 2 0 3 u u e u v 0 2   d u =

= 1 2 0 3 e 2 u - 1   d u =

= 1 2 1 2 e 2 u - u 0 3 =

= 1 2 e 6 2 - 3 - 1 2

= 1 4 e 6 - 7

Resposta

1 4 e 6 - 7

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