Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G4 - 2013.2, Questão 1a

Considere a integral

D   ( x - y ) d x d y

Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = - 2 x + 4 , y = - 2 x + 7 , y = x - 2 e y = x + 1 .

Usando a mudança de variáveis T u , v = x u , v , y ( u , v ) com u = x - y e v = 2 x + y , calcule I .

Passo 1

A mudança que o problema pede nos dá que:

u = x - y

v = 2 x + y

Reescrevendo isso aí, temos:

u + v = 3 x                       x = u + v 3

y = u + v 3 - u = v - 2 u 3

Vamos, então, calcular o jacobiano disso aí, temos:

x u = 1 3  

x v = 1 3

y u = - 2 3

y v = 1 3

Como

J = ( x , y ) ( u , v )     = x u x v y u y v

J = 1 3 1 3 - 2 3 1 3 = 1 9 + 2 9 = 1 3

J = 1 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Certo, agora vamos descobrir o novo domínio de integração. As equações:

y = - 2 x + 4

y = - 2 x + 7

y = x - 2

y = x + 1

Com a mudança de variáveis

u = x - y

v = 2 x + y

Viram:

v = 4

v = 7

u = 2

u = - 1

Isso nos dá que 4 v 7 e - 1 u 2 .

Passo 3

Agora vamos fazer essa mudança de variáveis na ntegral:

D   ( x - y ) d x d y = - 1 2 4 7 u 3 d v d u

Agora é só calcular isso aí

= 1 3 - 1 2 u v 4 7 d u =

= 1 3 - 1 2 7 - 4 u   d u =

= u 2 2 - 1 2 =

= 4 - 1 2 = 3 2

Resposta

3 2

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