Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UNICAMP, Cálculo 2, P2 - 2013.2 - 5ª Vespertino, Questão 3

Considere a região D R 2 limitada pela curva x + y = 1 e pelos eixos coordenados. Determine

D   1 x y d A

Dica: utilize a transformação de coordenadas x = u 2 , y = v 2 .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.

A região D é essa marcada em cinza.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, e agora? No plano x y , podemos escrever essa região como tipo I, y está entre as retas y = 0 e y = 1 - x e x vai de 0 a 1 , portanto:

0 y 1 - x

0 x 1

Fazendo a mudança sugerida

x = u 2

y = v 2

Temos

0 v 2 1 - u 2

0 u 2 1

O que nos dá

0 v 1 - u 2

0 u 1

Bom, no plano u v podemos então descrever a região como

D * = u , v 0 u 1 ; 0 v 1 - u 2

Passo 3

Bom, mas como tudo na vida tem um preço, não poderia ser tão simples assim né.

Temos que calcular o Jacobiano dessa transformação, lembra?

J = ( x , y ) ( u , v ) = x u x v y u y v

Temos:

x = u 2

y = v 2

Isso nos dá

x u = 2 u

x v = 0

y u = 0

y v = 2 v

J = 2 u 0 0 2 v = 4 u v

Passo 4

Beleza, agora vamos montar a integral:

D   1 x y d A = 0 1 0 1 - u 2 1 u 2 v 2 4 u v   d v d u

= 4 0 1 0 1 - u 2 d v d u =

Passo 5

Agora é só resolver isso aí

= 4 0 1 v 0 1 - u 2 d u =

= 4 0 1 1 - u 2 d u =

Agora vamos fazer a mudança:

u = s e n   θ

d u = cos θ   d θ

u = 0                       θ = 0

u = 1                       θ = π 2

Levando para a integral

= 4 0 π 2 cos 2 θ cos θ   d θ =

= 4 0 π 2 cos 2 θ d θ =

Substituindo

cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2

Temos

= 2 0 π 2 1 + cos 2 θ d θ =

= 2 θ + 1 2 s e n   2 θ 0 π 2 =

= 2 π 2 = π

Resposta

π

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