Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2017.2, Questão ME1

1) A integral de f x ,   y = 5 / ( x 2 y )   na região definida por 2 < ln x y < 3 e 1 < 1 / x < 2 é igual a

  1. 5
  2. 6
  3. - 6
  4. - 5
  5. 1

Passo 1

Bem, antes de tudo vamos montar a integral! Como temos uma função f x ,   y e foi nos dado uma região no plano x y , o problema só pode estar querendo uma integra dupla !

D   f x ,   y   d A = D   5 x 2 y   d A

Onde D é justamente a região pedida no problema, saca?

Mas cuidado, não vai sair desenhando essa região como usualmente fazemos não, heim! Até porque você não tem esse tempo. Vem comigo, ao invés disso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se você reparar, o problema já nos deu a região de uma forma de intervalos:

2 < ln x y < 3  

1 < 1 / x < 2

Seria muuuuito prático e interessante pra gente se fizemos uma substituição de variáveis quaisquer de forma que:

u = ln x y

v = 1 x

Por que assim, já teríamos as variações imediatas dessas novas variáveis:

2 < u < 3

1 < v < 2

Legal isso neh?

Passo 3

Você não pode se esquecer de que uma mudança dessas sempre deixa marcas, e essa marca nós corrigimos com o calculo do Jacobiano. Como temos aqui as novas variáveis em função das antigas:

u = ln x y

v = 1 x

Fica mais fácil calcular o Jacobiano inverso J * primeiro:

J * = u x u y v x v y

Calculando cada uma dessas derivadas parciais:

u x = ln x y x

Cuidado com a regra da cadeia...

1 x y x y x = 1 x y y = 1 x

Calculando as demais derivadas:

u y = ln x y y = 1 x y x = 1 y

v x = 1 x x = - 1 x 2

v y = 1 x y = 0

Logo:

J * = u x u y v x v y = 1 x 1 y - 1 x 2 0 =

1 y x 2

O Jacobiano J tem uma relação muito legal com o seu inverso... Ele é o inverso :

J = 1 J *

J = 1 1 y x 2 = y x 2

Lembre-se de que precisamos na real é a do módulo heim! (nesse caso não importa muito, pois ele já é positivo )

J = y x 2

Passo 4

Finalmente, com as informações de variação das nossas variáveis:

2 < u < 3

1 < v < 2

Podemos voltar para a integral dupla:

D   5 x 2 y   d A

E substituir tudo, não se esquecendo de multiplicar pelo módulo do Jacobiano que encontramos:

D u v   5 x 2 y J d u d v =

D u v   5 x 2 y x 2 y   d u d v =

1 2 2 3 5   d u d v =

5 1 2 2 3   d u d v = 5 1 2 3 - 2 d v =

5 1 2 d v =

5

Resposta

a )   5

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas