Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2018.2, Questão 3

Questão 3: Seja a região D = x ,   y R 2   | e x 4 y e x ,   e - x y 4 e - x e considere uma mudança de variáveis T u ,   v = x u ,   v ,   y u ,   v de R 2 em R 2 que satisfaça às equações

u = e x v = y e x

Seja B a região do plano R 2 com coordenadas u , v tal que T B = D .

  1. Esboce as regiões D e B . Assinalem em seus esboços da região B pontos p 1 , p 2 , p 3 e p 4 na fronteira das curvas que limitam a região e, no esboço da região D , assinale suas imagens correspondentes T p 1 , T p 2 , T p 3 e T p 4 . Não é necessário calcular explicitamente as coordenadas dos pontos, embora possa ser desejável para verificar as contas.
  2. Escreva uma fórmula para T u ,   v , calcule a matriz Jacobiana D T e seu determinante.
  3. Use a mudança de variáveis T para calcular

D   y 2 e 5 x   d x d y

Passo 1

Letra A)

Para desenhar a região D , primeiro, devemos tirar informações da própria definição de região:

D = x ,   y R 2   | e x 4 y e x ,   e - x y 4 e - x        

y = e x 4           e         y = e x

y = e - x           e               y = 4 e - x

Ora! As duas primeiras são exponenciais:

As duas últimas são exponenciais também, mas como temo - x como expoentes, as curvas devem estar refletidas em relação ao eixo x :

Então essa é a região:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para desenhar a região B , devemos desenhar as bordas obedecendo à definição:

u = e x v = y e x

Então as curvas que delimitam a região D ali em cima ficam sendo...

y = e x 4           e         y = e x                                                         y = u 4           e         y = u

y = e - x           e               y = 4 e - x                                                         y = 1 u             e             y = 4 u

Como y = v e x = v u ...    

      v u = u 4           e       v u = u v u = 1 u             e           v u = 4 u                       v = u 2 4         e         v = u 2   v = 1           e           v = 4

Então essa daí é a equivalência da borda nesse munda de variáveis e é à borda da região D ! Basta desenhar isso então lembrando que no plano v u as duas equações de cima é uma parábola enquanto que as duas últimas são retas !

Passo 3

Assinalando os pontos no desenho como vimos é:

E no desenho da mudança...

Passo 4

Letra B)

Sabemos que...

T u ,   v = x u ,   v ,   y u ,   v

Então temos que encontrar x em função de u e v e o mesmo para isso. Vamos fazer isso tentando isolá-las através da mudança...

u = e x v = y e x          

Aplicando l n ...

ln u = ln e x v e x = y                     ln u = x v u = y    

Então...

T u ,   v = ln u ,   v u

Passo 5

Para calcular o Jacobiano, podemos fazer...

J = x u x v y u y v

Como

ln u = x v u = y

Então...

J = 1 u 0 - v u 2 1 u = 1 u 2

Passo 6

Letra C)

Agora vamos calcular a integral...

D   y 2 e 5 x   d x d y

Bem, então a mudança que vamos fazer basicamente é essa:

ln u = x v u = y

Lembrando que o Jacobiano é:

J = 1 u 0 - v u 2 1 u = 1 u 2

Passo 7

Substituindo tudo então na integral dupla para u v ...

D   y 2 e 5 x   d x d y = B   v u 2 e 5 ln u J   d u d v =

B   v 2 u 2 u 5 1 u 2   d u d v = B   u v 2   d u d v

Veja que mudamos a região de D para B , já que estamos falando agora de uma integral dupla nas variáveis novas! Para calcularmos a integral então, deveríamos descrever a região e integrarmos, mas como a região nossa é simétrica em relação à ao eixo v :

E, além disso, se observarmos que estamos integrando uma função que que assume os mesmos valores dos dois lados do plano, mas com sinais diferentes:

- u v 2 = - u v 2

Se calcularmos essa integral então:

B   u v 2   d u d v

Só pode dar 0 , já que a estamos somando os mesmos valores de um lado e o mesmo do outro só que com valor negativo!

B   u v 2   d u d v = 0

Resposta

Letra A)

Letra B)

T u ,   v = ln u ,   v u

J = 1 u 0 - v u 2 1 u = 1 u 2

Letra C)

B   u v 2   d u d v = 0

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