Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2015.1, Questão 1

Seja D : x , y R 2 : x + y 2 ,   x , y 0 . Calcule

D   x + y 2 e ( x + y ) ( y - x ) d x d y

Passo 1

Bom, já deu pra perceber que temos ( x + y ) algumas vezes na questão, não é? Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis então:

x + y = u

y = v

Isso vai simplificar bastante a região de integração.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como toda e qualquer mudança, precisamos de um Jacobiano:

y = v

x = u - v

x u = 1

x v = - 1

y u = 0

y v = 1

J = 1 - 1 0 1 = 1

Passo 3

Agora, vamos fazer um gráfico desse domínio D para podermos encontrar o novo domínio.

D é esse triângulo:

Olhando para essa figura, podemos escrever que:

0 x 2 - y

0 y 2

O que nos dá:

y x + y 2

0 y 2

Ou seja

v u 2

0 v 2

Passo 4

Agora vamos levar tudo o que achamos para a integral e fazer a mudança de variáveis:

D   x + y 2 e ( x + y ) ( y - x ) d x d y = 0 2 v 2 u 2 e u v - u + v × 1 d u d v

= 0 2 v 2 u 2 e u 2 v - u d u d v =

Passo 5

Agora vamos resolver isso aí. Vamos começar invertendo essa ordem de integração.

A região

v u 2

0 v 2

Passa a ser

0 v u

0 u 2

= 0 2 0 u u 2 e 2 u v - u 2 d v d u =

= 0 2 u 2 2 u e 2 u v - u 2 0 u d u =

= 1 2 0 2 u e 2 u 2 - u 2 - e - u 2 d u =

= 1 2 0 2 u e u 2 - e - u 2 d u =

= 1 2 0 2 u e u 2 - u e - u 2 d u =

= 1 2 1 2 e u 2 + 1 2 e - u 2 0 2 =

= 1 2 1 2 e 4 + 1 2 e - 4 - 1 2 - 1 2 =

= 1 4 - 2 + e - 4 + e 4 =

Resposta

1 4 - 2 + e - 4 + e 4

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