Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G4 - 2014.1, Questão 1

Seja f : R R uma função contúnua. Utilizando uma mudança de variáveis apropriada, mostre que

D   f ( x y ) d x d y = log 2 1 2 f ( u ) d u

Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas linhas de equação y = x , y = 4 x , y = 1 / x   e y = 2 / x .

Passo 1

Vamos começar decidindo que mudança vamos fazer aqui. Olha pra função que temos que integrar, f ( x y ) .

Agora olha para essas curvas que limitam D : y = 1 / x   e y = 2 / x . Repare que elas podem ser reescritas como:

x y = 1

x y = 2

Certo? Bom, já que o termo x y apareceu várias vezes no problema, vamos chamar ele de u :

x y = u

Agora, vamos definir a variável v usando as outras equações que limitam D : y = x , y = 4 x . Elas podem ser reescritas como:

y x = 1

y x = 4

Então vamos fazer a mudança

y x = v

Beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, se vamos fazer um mudança de variáveis, precisamos calcular o Jabobiano disso aí. Temos a transformação:

x y = u

y x = v

Isolando x e y :

x , y = T u , v = u v , u v

O que nos dá

x u = 1 2 u v

x v = - u 2 v v

y u = v 2 u

y v = u 2 v

Como

J = ( x , y ) ( u , v )     = x u x v y u y v

J = 1 2 u v - u 2 v v v 2 u u 2 v = 1 4 v + 1 4 v = 1 2 v

J = 1 2 v

Passo 3

Agora temos que descobrir nossa região de integração no plano u v . Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas linhas de equação y = x , y = 4 x , y = 1 / x   e y = 2 / x . Fazendo a mudança de variáveis nessas equações, temos:

v = 1

v = 4

u = 1

u = 2

A nova região de integração virou, então, esse retângulo.

Show, agora vamos escrever matematicamente essa região:

1 u 2

1 v 4

Passo 4

-

Agora vamos fazer a mudança na nossa integral.

D   f ( x y ) d x d y = 1 2 1 4 f ( u ) 1 2 v d v d u

Agora vamos simplificar isso aí. Integrando em relação a v :

= = 1 2 1 2 ln v f ( u ) 1 4 d u =

= 1 2 1 2 f u [ ln 4 - ln 1 ] d u =

= 1 2 = 1 2 1 2 f u [ 2 ln 2 ] d u =

= ln 2 1 2 f u d u =

Pronto, chegamos ao que o enunciado pediu!

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