Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

USP, Cálculo 3, P1 - 2019, Questão 7

Sejam P o paralelogramo de vértices ( 0,0 ) ,   ( 1 , - 1 ) ,   ( 4,2 )   e   ( 3,3 ) ,   f   e g funções contínuas em R . É corrento concluir que

P f x - y g x + y d x   d y =   0 6 c d f u g v   K   d u   d v

no caso em que c = ? ,   d = ? e   K = ?

Passo 1

Observa comigo logo de cara que a mudança que ele fez dentro da integral foi a mudança de variáveis, certo? Onde ele trocou x - y   por u e x + y por v , oque obviamente fez com que aparecesse um jacobiano ali dentro da segunda integral. Até aí tudo bem, o que faz com que a gente já tenha:

u = x - y

v = x + y

Com isso a gente já tem condições de calcular o Jacobiano:

1 J = 1 - 1 1 1 = 1 - - 1 = 2

J = 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já descobrimos o jacobiano! Agora precisamos entendercomo fica a nova região pra entender a variação de x   e   v pra preenchermos a variação na nova integral. Bom, pra isso vamos precisar das equações das retas do paralelogramo formado com esses 4 pontos. Daí, pra parte da equação da reta cada um é cada um. Eu particularmente curto fazer por matriz, mas sei que tem outros jeitos de fazer...você faz como julgar melhor.

Primeiro vou fazer o a reta que liga os pontos (0,0) ao (3,3).

0 0 1 3 3 1 x y 1 = 0

3 y - 3 x = 0

x - y = 0

Agora (1,-1)     (4,2)

1 - 1 1 4 2 1 x y 1 = 0

2 - x + 4 y - 2 x + y - 4 = 0

2 - x + 4 y - 2 - y + 4 = 0

3 y - 3 x + 6 = 0

x - y = 2

(3,3)   (4,2)

3 3 1 4 2 1 x y 1 = 0

6 + 3 x + 4 y - 2 x + 3 y + 12 = 0

6 + 3 x + 4 y - 2 x - 3 y - 12 = 0

x + y = 6

(0,0)   (1,-1)

0 0 1 1 - 1 1 x y 1 = 0

0 + y - - x = 0

x + y = 0

Passo 3

Bom, com cada uma dessas equações a gente consegue ver direitinho onde u   e   v estão variando, uma vez que u = x - y

v = x + y

Observa as equações que encontramos:

x + y = 0

x + y = 6

x - y = 0

x - y = 2

Logo ficamos com

u = 0  

u = 2  

v = 0  

v = 6

Passo 4

Pra concluir vamos então montar a integral:

0 6 c d f u g v   K   d u   d v

0 6 0 2 f u g v 1 2   d u   d v

c = 0 ,   d = 2   e   K = 1 2

;)

Resposta

c = 0 ,   d = 2   e   K = 1 2

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