Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

10 - Considere a curva C dada pela intersecção do cilindro de equação x 2 12 + y 2 16 = 1 com o plano 2 x + y + z = 12 . Determine as distâncias máximas e mínimas dos pontos de C ao plano x y .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos um cilindro elíptico dado pela equação x 2 12 + y 2 16 = 1 e um plano dado pela equação 2 x + y + z = 12 . Digamos te esses sejam focos de luzes invisíveis no céu e que quando se cruzam, se tornam visíveis para a gente, algo parecido com um holograma. Se a gente plotar o gráfico da intersecção do plano e do cilindro, vamos ter algo parecido com isso nos céus.

Ops, espera aí, não é isso não!

Agora sim!

O que queremos calcular é a distância máxima e mínima dessa curva ao plano x y . E aí? Como vamos fazer isso? 🤔🤔

Bola lá que eu te mostro!

Passo 2

Podemos começar calculando os gradientes da equação do cilindro e do plano pois com eles vamos usar o multiplicador de Lagrange.

O gradiente da equação do cilindro é dado por

∇ C i l i n d r o = ∂ C i l i n d r o ∂ x , ∂ C i l i n d r o ∂ y , ∂ C i l i n d r o ∂ z

Derivando a equação com relação a x , vamos obter

∂ C i l i n d r o ∂ x = ∂ x 2 12 + y 2 16 = 1   ∂ x

Como y e 1 se comportam como constantes, com isso suas derivadas são 0 , então podemos desconsiderar. Já a derivada de x 2 / 12 é obtida pela derivação de polinômios onde multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do expoente.

∂ C i l i n d r o ∂ x = 2 · x 2 - 1 12 = x 6

Derivando com relação a y , vamos seguir as mesmas ideias. Vamos derivar y pelo método de derivação de polinômios sendo x e 1 constantes.

∂ C i l i n d r o ∂ y = 2 · y 2 - 1 1 6 = y 8

Como não temos z na equação, sua variável é 0 .

Com isso, temos o gradiente do cilindro dado por

∇ C i l i n d r o = x 6 , y 8 , 0

Bacana, não é?

Passo 3

Agora vamos calcular o gradiente do plano

∇ P l a n o = ∂ P l a n o ∂ x , ∂ P l a n o ∂ y , ∂ P l a n o ∂ z

Derivando a equação do plano com relação a x , as variáveis y e z vão ser consideradas constantes e assim como no gradiente anterior, vamos usar o método de derivação polinomial, logo

∂ P l a n o ∂ x = 2 x 1 - 1 = 2

A derivada com relação a y é dada por

∂ P l a n o ∂ y = y 1 - 1 = 1

Já a derivada com relação a z

∂ P l a n o ∂ z = z 1 - 1 = 1

Com isso, nosso gradiente do plano é dado por

∇ P l a n o = 2,1 , 1

Tranquilo até aqui? 👀👀

Passo 4

Agora vamos usar o multiplicador de Lagrange para definir

∇ C i l i n d r o = λ ∇ P l a n o

x 6 , y 8 , 0 = λ 2,1 , 1

Com isso, vamos ter o seguinte sistema de equações

x 6 = 2 λ y 8 = λ 0 = λ

Podemos descartar a ultima equação pois ela não nos diz nada.

Vamos dividir os dois lados da primeira equação por 2 pra deixarmos tudo igual a lambda.

x 12 = λ y 8 = λ

Assim podemos igualar as duas primeiras equações e encontrar uma relação entre x e y .

x 12 = y 8

Isolando x em um lado da equação, temos

x = 12 y 8 → x = 3 2 y

Vemos que os pontos de máximos e mínimos fazem parte do plano x = 3 2 y então vamos substituir essa informação na equação do plano e na equação do cilindro pra obter os valores de y .

Passo 5

Na equação do cilindro, vamos ter

3 2 y 2 12 + y 2 16 = 1

9 4 y 2 12 + y 2 16 = 1

3 y 2 16 + y 2 16 = 1

4 y 2 = 16

Com isso, encontramos que y será

y = ± 2

Substituindo x = 3 2 y na equação do plano, temos

2 3 2 y + y + z = 12

z = 12 - 4 y

Substituindo os valores de y que encontramos nesse passo, temos

z 1 = 12 - 4 2 = 4

z 2 = 12 - 4 - 2 = 20

Ou seja, encontramos a maior distância como 20 e a menor distância é 4 !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Maior distância: 20

Menor distância: 4

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