Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Cálculo 2 UNICAMP, P1 2013 Tarde, questão 2

Determine o valor de máximo e de mínimo de f x , y , z = 6 x + z sobre a curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e z = x 2 - 2 y 2 .

Passo 1

Opa, valores máximos e mínimos sobre uma curva? Isso é dever para o Sr. Lagrange! Temos uma função, que será max/minimizada, e temos uma restrição, que é a curva de interseção das superfícies.

Bom, antes de mais nada, precisamos saber que restrição é essa! Temos duas superfícies, um cilindro x 2 + y 2 = 4 :

E, para a outra, temos um paraboloide hiperbólico:

Agora você me pergunta: Mas como eu vou encontrar essa curva de interseção?!? E eu te respondo: Também não sei XD

Pois é, vai ser massacrante. Se fosse uma curva bonitinha, uma circunferência no plano O x y , a gente até se esforçava pra encontrar...

E agora? O que faremos? Vamos simplesmente ignorar que estamos em uma curva! Vamos dizer que temos duas restrições! Sim, pois estar sobre uma curva é o mesmo que dizer, em duas etapas, que estamos sobre uma superfície e sobre a outra!

Enfim, nossa equação para os multiplicadores de LaGrange fica com duas restrições:

∇ f x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ ∇ H x , y , z

Em que G e H são, respectivamente, as equações do cilindro e do paraboloide hiperbólico, e λ e μ são seus multiplicadores!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função f :

f x , y , z = 6 x + z

f x = 6

f y = 0

f z = 1

E, então, nosso vetor gradiente é:

f x , y , z = 6,0 , 1

Agora, para a equação do cilindro,

G x , y , z = x 2 + y 2 - 4

G x = 2 x

G y = 2 y

G z = 0

E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

Por fim, para o paraboloide hiperbólico, teremos:

H = x 2 - 2 y 2 - z

H x = 2 x

H y = - 4 y

H z = - 1

E, finalmente, o vetor gradiente do paraboloide hiperbólico é:

∇ H x , y , z = 2 x , - 4 y , - 1

Perfeito! Fiz essa parte rapidinho por que né… vamos matar logo essas derivadas ;) Só pra organizar, nossos vetores gradiente são:

f x , y , z = 6,0 , 1

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

∇ H x , y , z = 2 x , - 4 y , - 1

Passo 3

Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:

6,0 , 1 = λ 2 x , 2 y , 0 + μ 2 x , - 4 y , - 1

Igualando as coordenadas, temos:

6 = 2 λ x + 2 μ x 0 = 2 λ y - 4 μ y 1 = 0 - μ x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2

Olha que coisa linda! Está vendo ali a terceira equação? Ela já nos diz que o valor de μ será - 1 ! Então, podemos olhar para o sistema com esse valor substituindo:

6 = 2 λ x + 2 . - 1 x 0 = 2 λ y - 4 . - 1 y 1 = 0 - - 1 x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2

Dando aquela ajeitadinha...

6 = 2 x λ - 1 0 = 2 y λ + 2 1 = 1 x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2

Passo 4

Perfeito, o que mais podemos fazer? Está vendo a segunda equação? Veja que, para ela ser 0 , então, ou y = 0 , ou λ = - 2 , certo? Vamos usar isso então para descobrir os valores de x e y !

Tomando y = 0 , podemos ir direto para a equação das restrições. Vamos ver o que encontramos para esses valores de y na restrição G :

x 2 + 0 2 = 4

x = ± 2

Beleza! Agora, que temos que, se y = 0 , então x = ± 2 , podemos descobrir o valor de z , pela restrição H :

z = ± 2 2 - 2 . 0 2

z = 4

E aí está! Como z = x 2 , tanto faz se é - 2 ou + 2 ! Com isso, chegamos em dois pontos,

P 0 = 2,0 , 4

P 1 = - 2,0 , 4

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Prosseguindo, temos ainda que testar o que acontece quando λ = - 2 , lembra? Colocando esse valor para λ na segunda equação, não temos nada de interessante, mas, para a primeira, temos:

6 = 2 x - 2 - 1

6 = - 6 x

x = - 1

E aí está! Com esse valor de x , podemos descobrir o valor de y pela restrição G :

- 1 2 + y 2 = 4

y 2 = 4 - 1

y 2 = 3

y = ± 3

Beleza! Agora, que temos que, se y = ± 3 , então x = - 1 , podemos descobrir o valor de z , pela restrição H :

z = - 1 2 - 2 . ± 3 2

z = 1 - 6

z = - 5

Com isso, chegamos em dois pontos,

P 2 = - 1 , 3 , - 5

P 3 = - 1 , - 3 , - 5

Tranquilo até aqui?

Passo 6

Vamos testá-los e ver qual é o máximo e qual é o mínimo?

Para P 0 = 2,0 , 4 , temos:

f 2,0 , 4 = 6.2 + 4 = 16

Para P 1 = - 2,0 , 4 , temos:

f - 2,0 , 4 = 6 . - 2 + 4 = - 8

Para P 2 = - 1 , 3 , - 5 , temos:

f - 1 , 3 , - 5 = 6 . - 1 - 5 = - 11

Para P 3 = - 1 , - 3 , - 5 , temos:

f - 1 , - 3 , - 5 = 6 . - 1 - 5 = - 11

Fechada a questão! P 0 é o ponto de máximo, e P 2 e P 3 são os pontos de mínimo!

Resposta

P 0 = 2,0 , 4 é o ponto de máximo e P 2 = - 1 , 3 , - 5 e P 3 = - 1 , - 3 , - 5 são os pontos de mínimo.

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