Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

O plano x + y + z = 1 corta o cilindro x 2 + y 2 = 1 z ∈ R . Determine o ponto desta intersecção que está mais próximo e o que está mais distante da origem.

Passo 1

É o seguinte, a gente tem duas superfícies no espaço de tal modo que a intersecção delas forma uma curva:

A gente quer encontrar os pontos dessa curva azul que estão mais afastados e mais próximos da origem. Como podemos encontrar isso?

Bem, trata-se de um problema de encontrar pontos máximos e mínimos da distância, certo? Então vamos usar o que a gente já sabe sobre a distância de um ponto no espaço até a origem:

D x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2

Bem, mas qual é o detalhe aqui? Essa raiz horrível aí! Então vamos contornar esse problema pegando a função quadrado da distância:

f x ,   y ,   z = D 2 = x 2 + y 2 + z 2

Note que fazer isso não altera o problema, pois o maior (e o menor) valor dessa função, é também a da função distância D , percebeu?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver o problema a gente vai utilizar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições, se lembra?

∇ f x ,   y ,   z = λ ∙ ∇ g x ,   y ,   z + k ∙ ∇ h ( x ,   y ,   z )

EPA!!! A função f até ok! É a função que queremos analisar, mas quem são essas outras duas aí?

Pow! Essas são as duas restrições do teorema. E elas são pra gente aqui, as equações que definem a curva!

x + y + z = 1   x 2 + y 2 = 1

Para a gente definir aquela g e h do problema, note que ambas estão igual a 1, logo, a gente pode considerar que essas superfícies são curvas de níveis 1 das funções

g x ,   y ,   z = x + y + z

h x ,   y ,   z = x 2 + y 2

Passo 3

Para aplicar Lagrange, necessitamos das derivadas parciais de cada função definida, então vamos começar pela ∇ f ( x ,   y ,   z ) .

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z                   ⇒ c a l c u l a n d o   e s s a s   d e r i v a d a s   p a r c i a i s                 ∇ f = 2 x ,   2 y ,   2 z

Fazendo o mesmo para a g x ,   y ,   z = x + y + z

∇ f = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z                   ⇒ c a l c u l a n d o   e s s a s   d e r i v a d a s   p a r c i a i s                 ∇ g = 1 ,   1 ,   1

E por último a de h x ,   y ,   z = x 2 + y 2

∇ h = ∂ h ∂ x , ∂ h ∂ y , ∂ h ∂ z                   ⇒ c a l c u l a n d o   e s s a s   d e r i v a d a s   p a r c i a i s                 ∇ h = 2 x ,   2 y ,   0

Passo 4

Voltando para o teorema de Lagrange e substituindo esses caras

∇ f x ,   y ,   z = λ ∙ ∇ g x ,   y ,   z + k ∙ ∇ h ( x ,   y ,   z )

2 x ,   2 y ,   2 z = λ ∙ 1 ,   1 ,   1 + k ∙ 2 x ,   2 y ,   0

Multiplicando aquele lado de lá pelas constantes

2 x ,   2 y ,   2 z = λ ,   λ ,   λ + 2 x k ,   2 y k ,   0

Agora somando os vetores de lá

2 x ,   2 y ,   2 z = λ + 2 x k ,   λ + 2 y k ,   λ

Dois vetores são iguais quando as mesmas posições são iguais, dessa forma

2 x = λ + 2 x k 2 y = λ + 2 y k 2 z = λ

Não esqueça de adicionar as equações das superfícies aí, heim! Veja

I                 2 x = λ + 2 x k I I                 2 y = λ + 2 y k I I I                                           2 z = λ I V               x + y + z = 1 V                     x 2 + y 2 = 1

Eita Geovana!!! Um sistema de 5 variáveis e 5 incógnitas, como sair disso? Me acompanha!:)

Passo 5

Primeiro, devemos ter claramente na ideia o que queremos para não nos perder. Queremos os valores x ,   y   e   z , então vamos lá:

Note que a equação I I I 2 z = λ , pode ser substituída direta na equação I   e   I I

2 x = 2 z + 2 x k

2 y = 2 z + 2 y k

Se subtrairmos uma equação pela outra, teremos

2 x - 2 y = 2 z - 2 z + 2 x k - 2 y k   ⇒

x - y = x k - y k

x - y = k x - y

Bem, aqui a gente se depara com duas situações possíveis para essa igualdade acontecer

  • Se x ≠ y então não tem outro valor pra cá a não ser k = 1
  • k = x - y x - y = 1

  • Ou x = y e k pode ser qualquer um nesse caso, pois
  • y - y = k y - y         ⇒         0 = k 0

    Passo 6

    Vamos então analisar cada uma dessas condições separadas

    Se x ≠ y a gente já sabe o termo k só poderá ser 1 nesse caso, como as únicas expressões que relacionam k é a primeira ou a segunda, escolhemos uma delas

    I                   2 x = λ + 2 x k

    Substituindo o valo de k = 1

    λ = 2 x - 2 x     ⇒         λ = 0

    Quem é a única expressão que depende de λ ? Isso! A terceira I I I

    λ = 2 z           ⇒ s u b s t i t u i n d o …               2 z = 0

    z = 0

    Substituindo agora esse resultado nas duas equações que a gente não trabalhou ainda e que tem z

    I V                 x + y + z = 1

    V               x 2 + y 2 = 1          

    Substituindo então, obteremos...

    x + y = 1 x 2 + y 2 = 1

    Isolando o x = 1 - y e jogando na de baixo

    1 - y 2 + y 2 = 1       ⇒

    1 - 2 y + y 2 + y 2 = 1

    Simplificando...

    2 y 2 - 2 y = 0

    Colocando em evidência

    2 y y - 1 = 0

    Assim, ou

    y = 0       �� o   q u e   i m p l i c a …             x = 1 - y = 1

    ou

    y = 1       ⇒ o   q u e   i m p l i c a …             x = 1 - 1 = 0

    Como tivemos z = 0 , já determinamos dois pontos aqui: 1 ,   0 ,   0 e 0 ,   1 ,   0 , percebeu? Um ponto em y = 0 e o outro, o outro

    Passo 7

    Mas ainda não terminamos, pois falta a outra condição do passo 5 : se x = y

    Bem, aí podemos jogar essa expressão direto na expressão V :   x 2 + y 2 = 1 , logo substituindo...

    x 2 + x 2 = 1

    2 x 2 = 1

    Isolando o x

    x 2 = 1 2

    x = ± 1 2 = ± 2 2

    Ok! Então y = 2 2 se x = 2 2 e ele é o negativo se x for o negativo, entendi, mas e o z ?

    Bem, podemos tirar z da única expressão que associa z ,   x   e   y : I V       x + y + z = 1 , logo

    x = 2 2           ⇒ i m p l i c a   q u e …               z = 1 - x - y = 1 - 2 2 - 2 2

                                z = 1 - 2

    Mas se

    x = - 2 2           ⇒ i m p l i c a   q u e …               z = 1 - x - y = 1 + 2 2 + 2 2

                                            z = 1 + 2

    Logo, determinamos mais dois pontos aqui: 2 2 ,   2 2 , 1 - 2 e - 2 2 ,   - 2 2 , 1 + 2

    Passo 8

    Agora basta averiguar na função distância ao quadrado f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2 dos quatro pontos encontrados no total, 2 2 ,   2 2 , 1 - 2 , - 2 2 ,   - 2 2 , 1 + 2 , 1 ,   0 ,   0 e 0 ,   1 ,   0 , é maior e menor

  • Primeiro
  • f 2 2 ,   2 2 , 1 - 2 = 2 2 2 + 2 2 2 + 1 - 2 2 =

    Elevando esses quadrados...

    2 4 + 2 4 + 1 - 2 2 + 2 = 4 - 2 2

  • Segundo
  • f - 2 2 ,   - 2 2 , 1 + 2 = - 2 2 2 + - 2 2 2 + 1 + 2 2 =

    2 4 + 2 4 + 1 + 2 2 + 2 = 4 + 2 2

  • Terceiro
  • f 1 ,   0 ,   0 = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1

  • Quarto

f 0 ,   1 ,   0 = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1

Podemos notar que o maior deles - 2 2 ,   - 2 2 , 1 + 2 , logo é o ponto mais distante e os dois menores são 1 ,   0 ,   0 e 0 ,   1 ,   0 .

Como 2 2 é menor que 3, então 4 - 2 2 é maior que 1 , por isso o ponto 2 2 ,   2 2 , 1 - 2 não entra na brincadeira, percebeu?

Resposta

M a i s   p r ó x i m o       →                       0 ,   1 ,   0   e   1 ,   0 ,   0

M a i s   a f a s t a d o →   - 2 2 ,   - 2 2 , 1 + 2

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