Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Determine os pontos de R 3 mais próximos e os mais distantes da origem sobre os seguintes conjuntos compactos:

  1. A = x , y , z ∈ R 3   ; x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ,   x y z = 1   e   z = 3 - x 2 - y 2  
  2. A = x , y , z ∈ R 3   ; x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ,   x y z = 1   e   z ≤ 3 - x 2 - y 2  

Passo 1

a )

Queremos encontrar os pontos de máximos e mínimos da função distancia até a origem, sobre duas restrições:

x y z = 1

E

z = 3 - x 2 - y 2

Então, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, com duas restrições

Com esse método, temos que resolver o sistema:

f x f y f z g x g y g z h x h y h z = 0 g x , y , z = 0 h x , y , z = 0

Em que g e h são as equações das restrições e f é a função que a gente quer maximizar/minimizar.

Beleza, as restrições já sabemos quem são, mas e nossa f ?

Eu disse que f era a função distancia até a origem. E essa função é dada por

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função f :

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

f x = 2 x

f y = 2 y

f z = 2 z

E, então, nosso vetor gradiente é:

f x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Agora, para a equação da primeira restrição,

G x , y , z = x y z - 1

G x = y z

G y = x z

G z = x y

E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:

∇ G x , y , z = y z , x z , x y

Por fim, para segunda restrição, teremos:

H = x 2 + y 2 + z - 3

H x = 2 x

H y = 2 y

H z = 1

E, finalmente, o vetor gradiente do paraboloide hiperbólico é:

∇ H x , y , z = 2 x , 2 y , 1

Passo 3

Agora, temos que montar o sistema. Temos:

2 x 2 y 2 z y z x z x y 2 x 2 y 1 = 0 x y z - 1 = 0 x 2 + y 2 + z - 3 = 0

Olha que agradável .-.

Vamos começar resolvendo esse determinante aí:

2 x 2 y 2 z y z x z x y 2 x 2 y 1 = 2 x 2 z + 4 x 2 y 2 + 2 y 2 z 2 - 4 x 2 y 2 - 2 y 2 z - 2 x 2 z 2 = 0

Podemos juntar umas paradas e simplificar isso escrevendo da seguinte maneira:

2 z 1 - 2 z x + y x - y = 0

E, para isso ser verdade, temos que ter

z = 0

Ou

1 - 2 z = 0 → z = 1 2

Ou

x + y = 0 → x = - y

Ou

x - y = 0 → x = y

Mas, os pontos do conjunto A estão no primeiro octante (tudo tem que ser maior que zero). Então, já descartamos z = 0 e x = - y .

Vamos analisar então os casos que sobraram, que é z = 1 2 e x = y .

Passo 4

Começando por z = 1 2 .

Substituindo isso na segunda equação do nosso sistema, temos que

x y 2 = 1 → y = 2 x

Pegando esses dois resultados e jogando na ultima equação:

1 2 = 3 - x 2 - 2 x 2

1 2 = 3 - x 2 - 4 x 2

x 4 + 4 x 2 = 5 2

x 4 - 5 2 x 2 + 4 = 0

Que é uma equação biquadrada. Pra resolver isso, vamos chamar

x 4 = u 2

x 2 = u

Assim,

u 2 - 5 2 u + 4 = 0

u = + 5 2 ± - 5 2 2 - 4.1 . 4 2

Mas, o que tá dentro dessa raíz aí é menor do que zero, então a equação não tem soluções reais, logo, não interessa pra gente.

Passo 5

Vamos então para o segundo caso: x = y .

Substituindo na segunda equação:

x 2 z = 1 → z = 1 x 2

Substituindo isso na ultima equação do nosso sistema, temos que

1 x 2 = 3 - x 2 - x 2

2 x 2 + 1 x 2 = 3

2 x 4 - 3 x 2 + 1 = 0

Outra equação biquadrada, então, já sabemos que

x 4 = u 2

x 2 = u

Assim

2 u 2 - 3 u + 1 = 0

u = + 3 ± - 3 2 - 4.2 . 1 2.2 = 3 ± 1 4

u 1 = 1

u 2 = 2 4 = 1 2

Mas,

u 1 = x 2 = 1 → x = ± 1

u 2 = x 2 = 1 2 → x = ± 1 2

Maaas, como já sabemos que os pontos do conjunto A estão no primeiro octante, já descartamos logo esses valores negativos. Ficamos só com os positivos.

Alem disso,

z = 1 x 2

Então,

z = 1 1 ² = 1

E

z = 1 1 2 2 = 2

Dessa forma, temos os pontos:

( 1,1 , 1 )

E

1 2 , 1 2 , 2

Passo 6

Agora, vamos testá-los e ver qual é o máximo e qual é o mínimo?

Para P 0 = ( 1,1 , 1 ) , temos:

D 11,1 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Para P 1 = 1 2 , 1 2 , 2 , temos:

D 1 2 , 1 2 , 2 = 1 2 2 + 1 2 2 + 2 2 = 5

Fechada a questão! P 0 é o ponto de mínimo, e P 1 é ponto de máximo!

Passo 7

b )

Aqui na letra b , se você reparar bem, também temos duas restrições, mas elas são quase iguais as da letra a . A única diferença está na segunda restrição, que agora não tem só sinal de igual, mas sim de menor ou igual. Isso significa que não dá pra usar Lagrange de cara com ela.

Vamos considerar então, como se tivéssemos só uma restrição (que é a que tem só sinal de igual), e depois vamos verificar se o ponto que a gente encontrar satisfaz também a condição

z < 3 - x 2 - y 2

Beleza?

Então temos que resolver:

i j k f x f y f z g x g y g z = 0 g x , y , z = 0

Passo 8

Vamos lá então. Já temos a equação de g , que é a restrição

g x , y , z = x y z - 1 = 0

E os gradientes também já calculamos na letra a .

Substituindo tudo então:

i j k 2 x 2 y 2 z y z x z x y = 0 x y z = 1

Resolvendo esse determinante, temos

i j k 2 x 2 y 2 z y z x z x y = 2 x y 2 - z 2 i + 2 y z 2 - x 2 j + 2 z x 2 - y 2 k = ( 0,0 , 0 )

Assim, ficamos com três equações:

2 x y 2 - z 2 = 0

2 y z 2 - x 2 = 0

2 z x 2 - y 2 = 0

Daí, temos que:

x = 0

Ou

y 2 - z 2 = 0 → y = z

ou

y = 0

Ou

z 2 - x 2 = 0 → x = z

Ou

z = 0

Ou

x 2 - y 2 = 0 → x = y

Mas, já sabemos que os pontos do conjunto A estão no primeiro octante, então descartamos x = y = z = 0 .

Ficamos só com a opção

x = y = z

Passo 9

Substituindo isso na equação da restrição, temos:

x y z = 1 → x 3 = 1

x = 1

Mas, como x = y = z , temos então o ponto

( 1,1 , 1 )

Acontece que esse ponto deve ainsa satisfazer a condição:

z < 3 - x 2 - y 2

Só que isso não acontece

Então, isso significa que não há nenhum candidato a máximo e mínimo no interior da segunda restrição. Os únicos candidatos estão no bordo do conjunto A , assim como acontecia na letra a , quando nossas restrições tinham só o sinal de igual.

Passo 10

E isso é ótimo pra gente, porque esses candidatos a gente já calculou! UHULES. São eles:

( 1,1 , 1 )

E

1 2 , 1 2 , 2

(Sim, o ponto ( 1,1 , 1 ) também, afinal, encontramos ele no passo anterior também! Ele conta pois está no bordo da segunda restrição e ela tinha sinal de menor ou igual!!)

Bem, já calculamos os valores da função nesses pontos e já descobrimos que ( 1,1 , 1 ) é um ponto de mínimo e 1 2 , 1 2 , 2 é um ponto de máximo.

Resposta

( 1,1 , 1 ) é um ponto de mínimo.

1 2 , 1 2 , 2 é um ponto de máximo.

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