Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Calculo 2 – UFPE – 2° EE

Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos da elipse, determinada pela interseção do plano x + y + z = 1 com o cilindro x 2 + y 2 = 1 que estão mais próximo da origem e mais distante da origem.

Passo 1

Para podermos desenvolver o problema e utilizar o método de Lagrange em si, precisamos determinar a função que queremos maximizar e minimizar.

Esta é uma função distância de um ponto P = x , y , z até a origem O = 0,0 , 0 . Calculando a função distância entre os dois pontos, temos:

d P , O = x - 0 2 + y - 0 2 + z - 0 2 = x 2 + y 2 + z 2

Bom, podemos simplificar agora a nossa vida. Ao invés de maximizarmos e minimizarmos a função distância, podemos fazer o procedimento para o quadrado da distância, pois ambas possuem os mesmos pontos de máximo e mínimo. Assim, eliminaremos a raiz da função e todo o cálculo fica mais simples. Portanto, a nossa função f será:

f x , y , z = d P , O 2 = x 2 + y 2 + z 2

Agora que já temos a nossa função, vamos identificar as restrições. Para esta questão, temos um problema de duas restrições (duas superfícies de nível) dadas por:

g x , y , z = x + y + z = 1

E

h x , y , z = x 2 + y 2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Após identificarmos a função que queremos maximizar/minimizar e as restrições do nosso problema, já podemos montar o sistema de Lagrange que precisamos resolver. Ele é dado por:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z g x , y , z = x + y + z = 1 h x , y , z = x 2 + y 2 = 1

Eita, ainda não calculamos as derivadas parciais das nossas funções f , g e h (e seus gradientes consequentemente). Vamos agora determinar estes gradientes então. Portanto,

∇ f x , y , z = f x , f y , f z = 2 x , 2 y , 2 z

∇ g x , y , z = g x , g y , g z = 1 , 1 , 1

∇ h x , y , z = h x , h y , h z = 2 x , 2 y , 0

Portanto, o nosso sistema é:

2 x , 2 y , 2 z = λ 1,1 , 1 + μ 2 x , 2 y , 0 g x , y , z = x + y + z = 1 h x , y , z = x 2 + y 2 = 1

Separando a primeira equação em 3 (analisando coordenada a coordenada, temos:

2 x = λ + μ ⋅ 2 x 2 y = λ + μ ⋅ 2 y 2 z = λ g x , y , z = x + y + z = 1 h x , y , z = x 2 + y 2 = 1

Se fizermos z = 0 , teremos λ = 0 , μ = 1 . Das duas últimas equações, obtemos y = 1 - x e

x 2 + 1 - x 2 = 1

x 2 + 1 - 2 x + x 2 = 1

2 x 2 - 2 x = 0

2 x x - 1 = 0

Portanto, temos o ponto ( 1,0 , 0 ) . Se tivéssemos isolado x = 1 - y e repetido o procedimento, obteríamos o ponto 0,1 , 0 . Já obtemos dois pontos, vamos continuar resolvendo.

Agora, iremos assumir que z ≠ 0 , e consequentemente λ = 2 z ≠ 0 . Das duas primeiras relações, obtemos:

2 x = 2 z + μ ⋅ 2 x 2 y = 2 z + μ ⋅ 2 y ⟹ x 1 - μ = z y 1 - μ = z

Dividindo as duas linhas, vamos obter:

x 1 - μ y 1 - μ = z z

x y = 1

x = y

Substituindo esta relação na relação x 2 + y 2 = 1 vamos obter:

x 2 + x 2 = 1

x 2 = 1 2

x = y = ± 2 2

Substituindo na relação x + y + z = 1 , vamos obter o seguinte valor de z :

z = 1 - x - y

Para x = y = 2 2 ,

z = 1 - 2 2 - 2 2 = 1 - 2

Já para x = y = - 2 2 , temos:

z = 1 + 2

Portanto, conseguimos os seguintes pontos 2 2 , 2 2 , 1 - 2 e - 2 2 , - 2 2 , 1 + 2 .

E assim obtivemos todas as soluções para o sistema.

Passo 3

Relembrando, conseguimos os seguintes pontos: 1,0 , 0 , 0,1 , 0 ,   2 2 , 2 2 , 1 - 2 e - 2 2 , - 2 2 , 1 + 2 .

Agora, precisamos descobrir quem é de máximo e quem é de mínimo. Para resolvermos esta pergunta, precisamos substituir os valores destas coordenadas na nossa função e checar qual o maior valor e qual o menor valor.

Portanto, vamos as contas!

f 1,0 , 0 = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1

f 0 , 1 , 0 = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1

f 2 2 , 2 2 , 1 - 2 = 2 2 2 + 2 2 2 + 1 - 2 2 = 1 + 1 - 2 2

f - 2 2 , - 2 2 , 1 + 2 = - 2 2 2 + - 2 2 2 + 1 + 2 2 = 1 + 1 + 2 2

Dentre os quatro pontos, aquele que possui o maior valor da função f é o ponto - 2 2 , - 2 2 , 1 + 2 . Portanto, este é o ponto mais distante da origem.

Já o menor valor de f aconteceu em dois pontos. Eles são 1,0 , 0 e 0,1 , 0 , os quais são os nossos pontos mais próximos da origem.

Resposta

O ponto mais distante da origem é - 2 2 , - 2 2 , 1 + 2 . Já os pontos mais próximos são 1,0 , 0 e 0,1 , 0 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas