Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Encontre, caso existam, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função

f x , y , z = 4 x 2 + 4 y 2 + 2 z

Para ( x , y , z ) pertencente à curva ϵ   que é dada pela interseção do colindro

x 2 + y 2 = 5

E o plano

2 x + 3 y + 2 z = 0

Passo 1

Opa, valores máximos e mínimos sobre uma curva? Isso é dever para o Sr. Lagrange! Temos uma função, que será max/minimizada, e temos uma restrição, que é a curva de interseção das superfícies.

Bom, antes de mais nada, precisamos saber que restrição é essa! Temos duas superfícies, um cilindro e um plano. A curva de interseção disso provavelmente dará uma elipse, mas na real você não precisa saber disso e muito menos parametrizar esse negócio.

Sabe por que?

Pois estar sobre uma curva de interseção é o mesmo que dizer, em duas etapas, que estamos sobre uma superfície e sobre a outra!

Enfim, nossa equação para os multiplicadores de LaGrange fica com duas restrições:

∇ f x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ ∇ H x , y , z

Em que G e H são, respectivamente, as equações do cilindro e do paraboloide hiperbólico, e λ e μ são seus multiplicadores.

Passo 2

Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função f :

f x , y , z = 4 x 2 + 4 y 2 + 2 z

f x = 8 x

f y = 8 y

f z = 2

E, então, nosso vetor gradiente é:

f x , y , z = 8 x , 8 y , 2

Agora, para a equação do cilindro,

G x , y , z = x 2 + y 2 - 5

G x = 2 x

G y = 2 y

G z = 0

E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

Por fim, para o plano, teremos:

H = 2 x + 3 y + 2 z

H x = 2

H y = 3

H z = 2

E, finalmente, o vetor gradiente do paraboloide hiperbólico é:

∇ H x , y , z = 2 , 3,2

Resumindo, nossos vetores gradientes são:

f x , y , z = 8 x , 8 y , 2

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

∇ H x , y , z = 2,3 , 2

Passo 3

Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:

8 x , 8 y , 2 = λ 2 x , 2 y , 0 + μ 2,3 , 2

Igualando as coordenadas e acrescentando as equações das restrições, temos:

8 x = 2 λ x + 2 μ 8 y = 2 λ y + 3 μ 2 = 0 + 2 μ x 2 + y 2 = 5 2 x + 3 y + 2 z = 0

Olha que coisa linda! Está vendo ali a terceira equação? Ela já nos diz que o valor de μ será 1 ! Então, podemos olhar para o sistema com esse valor substituindo:

8 x = 2 λ x + 2 8 y = 2 λ y + 3 2 = 2 x 2 + y 2 = 5 2 x + 3 y + 2 z = 0

Dando aquela ajeitadinha...

x ( 8 - 2 λ ) = 2 y ( 8 - 2 λ ) = 3 2 = 2 x 2 + y 2 = 5 2 x + 3 y + 2 z = 0

Passo 4

Agora, dividindo a primeira equação pela segunda, ficamos com

x y = 2 3

Logo

y = 3 x 2

Agora podemos substituir isso na equação do cilindro:

x 2 + 3 x 2 2 = 5

13 x 2 4 = 5

x = ± 20 13 = ± 2 5 13

Assim, podemos descobrir os valores de y :

y = 3 x 2

y = 3 2 ± 2 5 13

y = ± 3 5 13

Passo 5

Mas ainda falta encontrar os valores de z .

Pra isso, podemos substituir os valores de x e y que já encontramos na equação do plano:

2 x + 3 y + 2 z = 0

2 ± 2 5 13 + 3 ± 3 5 13 + 2 z = 0

z = ∓ 13 2 5 13

Que coisa bonita, né? Sqn

Nossos candidatos a máximo e mínimo ficam então:

P 0 = 2 5 13 ,   3 5 13 ,   - 13 2 5 13

P 1 = - 2 5 13 , -   3 5 13 , 13 2 5 13

Passo 6

Agora vamos ver qual é o máximo e qual é o mínimo?

Para P 0 = 2 5 13 ,   3 5 13 ,   - 13 2 5 13 , temos:

f 2 5 13 ,   3 5 13 ,   - 13 2 5 13 = 4 2 5 13 2 + 4 3 5 13 2 + 2 - 13 2 5 13

f 2 5 13 ,   3 5 13 ,   - 13 2 5 13 = 280 13 - 13 5 13

Para P 1 = - 2 5 13 , -   3 5 13 , 13 2 5 13 , temos:

f - 2 5 13 , -   3 5 13 , 13 2 5 13 = 4 - 2 5 13 2 + 4 - 3 5 13 2 + 2 13 2 5 13

f 2 5 13 ,   3 5 13 ,   - 13 2 5 13 = 280 13 + 13 5 13

Fechada a questão! P 0 é o ponto de mínimo e P 1 é ponto de máximo!

Resposta

P 0 = 2 5 13 ,   3 5 13 ,   - 13 2 5 13 é ponto de mínimo absoluto.

P 1 = - 2 5 13 , -   3 5 13 , 13 2 5 13 é ponto de máximo absoluto.

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