Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Dada a função f ( x ,   y )   =   4 x + 6 y , determine seus valores máximo e mínimo restritos a x 2 + y 2 = 13 .

O valor máximo é:

E o valor mínimo é:

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado deu uma função f ( x , y ) , deu uma restrição (círculo de raio 13 ) e isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange!

Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:

∇ → f = λ ∇ → g

Então a ideia aqui é escrever a equação do círculo, construir a função g – trazendo tudo para o mesmo lado e igualar a zero; fazer o gradiente da restrição e da função dada, e substituir ali em cima!

Mas relaxa que vou fazer com você! E aos poucos vamos vendo em qual alternativa as nossas conclusões se encaixam!

Vamos nessa?

Passo 2

A função f a ser examinada é:

f ( x ,   y )   =   4 x + 6 y

E seu gradiente é:

∇ f = ( 4,6 )

E a restrição:

x 2 + y 2 = 13

E a função restrição:

g = x 2 + y 2 - 13

E seu gradiente:

∇ g = ( 2 x , 2 y )

E agora substituir no teorema:

∇ f = λ ∇ g

4,6 = λ ( 2 x , 2 y )

E formamos um sistema:

1 :   4 = λ 2 x 2 :   6 = λ 2 y

E a terceira equação é a restrição: 3 : x 2 + y 2 = 13 .

Esse sistema tem três equações e três incógnitas. Por enquanto ta de boas!

O próximo passo é descobrir os pontos que satisfazem essas equações!

Passo 3

Da equação (1):

λ = 4 2 x

E da (2):

λ = 6 2 y

Então podemos igualar esses λ ' s :

4 2 x = λ = 6 2 y

Daqui tiramos que:

y = 3 x 2

E para achar efetivamente uma coordenada, vamos substituir esse y na restrição (3):

x 2 + y 2 = 13

x 2 + 9 x 2 4 = 13

13 x 2 4 = 13

x 2 = 4 ∴ x = ± 2

E daí o valor de y :

y = ± 3

Assim os pontos são:

P 1 ( 2,3 )

E

P 2 ( - 2 , - 3 )

Esses são os candidatos a máximo e mínimo! Agora precisamos testar!

Passo 4

O próximo passo é testar esses pontos críticos na função f e achar quem é maior ou menor!

f x , y = 4 x + 6 y

f P 1 = 4.2 + 6.3 = 26

f P 2 = 4 . - 2 + 6 . - 3 = - 26

Aí temos:

f 2,3 = 26   ( v a l o r   m á x i m o )

f - 2 , - 3 = - 26   ( v a l o r   m í n i m o )

Belezinha?

Espero ter ajudado!

Resposta

f 2,3 = 26   ( v a l o r   m á x i m o )

f - 2 , - 3 = - 26   ( v a l o r   m í n i m o )

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