Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Sejam m e n respectivamente, as distancias máxima e mínima entre os pontos que estão na interseção das superfícies

2 x - z = 0

x 2 + y 2 = 1

E a origem. É correto afirmar que:

  1. m e n não existem
  2. m = 5   e   n = 1
  3. m = 5 e   n = 2
  4. m = 5   e   n = 1
  5. m = 1 2 e   n = 1 5

Passo 1

Nosso objetivo é encontrar a distância máxima e mínima entre dois pontos. Ou seja, queremos maximizar e minimizar a função distancia entre um ponto que tá na interseção das duas superfícies e a origem:

d ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2

Ok, e agora? Pense comigo, se a pergunta fosse: O quão perto e o quão longe eu posso estar da origem 0,0 , 0 ? Não faria sentido, né? Porque o mais longe tenderia a infinito, enquanto o mais perto, tenderia a uma distância nula!

Exatamente por isso que nos foram dadas duas restrições para essa distância: os pontos devem estar na curva de interseção das duas superfícies, isso é, ele tem que estar tanto no cilindro x 2 + y 2 = 1 quanto no plano 2 x - z = 0 .

Então, vamos resolver esse problema usando multiplicadores de Lagrange, pois temos uma função que deve ser maximizada/minimizada, dentro dessas duas restrições!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas antes, aquela dica esperta: Essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado para facilitar nossas contas e depois a gente retoma a função normal. Então, nossa função que será max/minimizada, será:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de G x , y , z e a segunda de H x , y , z . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:

∇ D x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ H x , y , z

Passo 3

Primeiro, calculamos os gradientes. Comecemos pelas derivadas que formam o vetor gradiente da função D :

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

∇ D x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Como o método dos multiplicadores de LaGrange envolve apenas a direção dos vetores, podemos usar o vetor x , y , z ao invés de 2 x , 2 y , 2 z !

Agora, calculando o gradiente de G x , y , z ,

G x , y , z = x 2 + y 2 - 1

∇ G x , y , z = 2 x ,   2 y ,   0   ⇒   ∇ G x , y , z = x ,   y ,   0

Novamente, como só importa a direção, podemos dividir esse vetor gradiente ∇ G por 2 .

E, enfim, o gradiente de 2 x - z = 0

H x , y , z = 2 x - z

∇ H x , y , z = 2,0 , - 1

Passo 4

Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:

x , y , z = λ x ,   y ,   0 + μ 2,0 , - 1

Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:

x = λ x + 2 μ     1 y = λ y     2 z = - μ x 2 + y 2 = 1     4 2 x - z = 0     5     3

Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!

Passo 5

Da segunda equação, de cara, já temos

y = 0

Ou

λ = 1

E da terceira equação, temos que

z = - μ

Substituindo λ = 1 e z = - μ na primeira equação:

x = λ x + 2 μ   ⇒ x = x - 2 z

z = 0

Substituindo esse resultado na ultima equação:

2 x - z = 0 ⇒ 2 x - 0 = 0

x = 0

Por fim, colocando isso na quarta equação:

x 2 + y 2 = 1 ⇒ 0 2 + y 2 = 1

y = ± 1

Achamos então os pontos:

P 1 = ( 0,1 , 0 )

P 2 = 0 , - 1,0

Passo 6

Beleza, mas esses pontos foram encontrados partindo da premissa que λ = 1 . Vamos utilizar agora a outra possibilidade: y = 0 .

Substituindo na quarta equação:

x 2 + y 2 = 1 ⇒ x 2 + 0 2 = 1

x = ± 1

Jogando isso na ultima equação:

2 x - z = 0 ⇒ 2 ( ± 1 ) - z = 0

z = ± 2

E assim temos os pontos:

P 3 = ( 1,0 , 2 )

P 4 = ( - 1,0 , - 2 )

Passo 7

Agora sim!! Temos tudo o que precisamos, já testamos todos os casos, agora é pegar cada ponto e substituir na equação da função D x , y , z !

Vamos lá! Para o ponto P 1 = ( 0,1 , 0 ) , temos

D x , y , z = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1

Para o ponto P 2 = 0 , - 1,0 , temos:

D x , y , z = 0 2 + ( - 1 ) 2 + 0 2 = 1

Para o ponto P 3 = ( 1,0 , 2 ) , temos:

D x , y , z = 1 2 + 0 2 + 2 2 = 5

E para o ponto ponto P 4 = ( - 1,0 , - 2 ) , temos

D x , y , z = ( - 1 ) 2 + 0 2 + ( - 2 ) 2 = 5

Beleeeeeeza, mas esse é um momento que precisamos de muita atenção.

Queremos o máximo m e o mínimo n da função d ( x , y , z ) , que é aquela que tem a raíz.

Então:

m = D = 5

n = D = 1 = 1

Resposta

L e t r a   d

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