Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Seja C a curva de interseção entre as superfícies

x 2 - x y + y 2 - z 2 = 1

E

x 2 + y 2 = 1

Determine os pontos de C que estão mais próximos da origem.

Passo 1

Vamos lá, queremos encontrar o mínimo de uma função, certo? E essa função é a função distância da origem! Ela, em R 3 pode ser dada por:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Ok, e agora? Pense comigo, se a pergunta fosse: O quão perto eu posso estar da origem 0,0 , 0 ? Não faria sentido, né? Porque isso tenderia a uma distância nula!

Exatamente por isso que nos foram dadas duas restrições para essa distância: os pontos devem estar tanto na superfície x 2 - x y + y 2 - z 2 = 1

como no cilindro

x 2 + y 2 = 1

Assim, vamos resolver esse problema usando multiplicadores de Lagrange, pois temos uma função que deve ser minimizada, dentro dessas duas restrições!

Passo 2

Antes de começar propriamente a montar a equação dos multiplicadores, vem uma dica que você vai querer guardar: Essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de G x , y , z e a segunda de H x , y , z . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:

∇ D x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ H x , y , z

Passo 3

Chegou a hora de calcular as derivadas propriamente ditas! Comecemos pelas derivadas que formam o vetor gradiente da função D :

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

D x = 2 x

D y = 2 y

D z = 2 z

∇ D x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Agora, calculando as derivadas parciais de G x , y , z ,

G x , y , z = x 2 - x y + y 2 - z 2 - 1

G x = 2 x - y

G y = 2 y - x

G z = - 2 z

∇ G x , y , z = 2 x - y , 2 y - x , - 2 z

E, enfim, as derivadas de H x , y , z ,

H x , y , z = x 2 + y 2 - 1

H x = 2 x

H y = 2 y

H z = 0

∇ H x , y , z = 2 x , 2 y , 0

Passo 4

Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:

2 x , 2 y , 2 z = λ 2 x - y , 2 y - x , - 2 z + μ 2 x , 2 y , 0

Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:

2 x = λ 2 x - y + μ     2 x     ( 1 ) 2 y = λ 2 y - x + μ     2 y         ( 2 ) 2 z = λ - 2 z x 2 - x y + y 2 - z 2 - 1 = 0     4 x 2 + y 2 - 1 = 0     5     3

Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!

Da Terceira equação, considerando z ≠ 0 , temos direto que

λ = - 1

Passo 5

Substituindo λ = - 1 nas duas primeiras equações:

Da primeira, temos

2 x = - 2 x + y + 2 μ x

x 4 - 2 μ = y

⇒ x y = 1 4 - 2 μ

E da segunda:

2 y = - 2 y + x + 2 μ y

y 4 - 2 μ = x

⇒ 4 - 2 μ = x y

Igualando as duas equações que acabamos de achar:

1 4 - 2 μ = 4 - 2 μ

4 - 2 μ 2 = 1

Abrindo esse quadrado perfeito:

16 - 16 μ + 4 μ 2 = 1

4 μ 2 - 16 μ + 15 = 0

E resolvendo essa equaçãozinha do segundo grau, chegamos em dois valores para μ :

μ = 3 2

μ = 5 2

Passo 6

Substituindo μ = 3 2 em uma das relações entre x e y que achamos no passo anterior:

x y = 1 4 - 2 μ = 1 4 - 2 ∙ 3 2 = 1

⇒   x = y

Agora, fazendo a mesma coisa com μ = 5 2 , temos:

x y = 1 4 - 2 μ = 1 4 - 2 ∙ 5 2 = - 1

⇒   x = - y

Passo 7

Beleza, temos duas possibilidades então:

x = y

E

x = - y

Substituindo x = y nas equações das restrições, da equação 4 temos que

x 2 + x 2 = 1

2 x 2 = 1

x = ± 1 2

E consequentemente,

y = ± 1 2

Agora, substituindo isso na equação 3, temos:

± 1 2 2 - ± 1 2 ± 1 2 + ± 1 2 2 - z 2 = 1

1 2 - 1 2 + 1 2 - z 2 = 1

z 2 = 1 2 - 1

z 2 = - 1 2

E isso é impossível.

Assim, a possibilidade x = y não é válida. Portanto, não nos fornece nenhum ponto candidato a mínimo da função.

Passo 8

Mas ainda temos a outra possibilidade, que era x = - y .

Substituindo nas equações das restrições:

( - y ) 2 + y 2 = 1

2 y 2 = 1

y = ± 1 2

E consequentemente,

x = ∓ 1 2

Agora, substituindo isso na equação 3, temos:

x 2 - x y + y 2 - z 2 - 1

∓ 1 2 2 - ∓ 1 2 ± 1 2 + ± 1 2 2 - z 2 = 1

1 2 + 1 2 + 1 2 - z 2 = 1

z 2 = 1 2

z = ± 1 2  

Assim, temos os pontos

P 1 = - 1 2 ,   1 2 , 1 2

P 2 = 1 2 , -   1 2 , - 1 2

Passo 9

Show! Temos dois candidatos então!

Maaaaaaaas, não podemos esquecer que chegamos até aqui partindo da premissa de que z ≠ 0 .

Vamos então considerer a outra possibilidade: z = 0 .

Substituindo z = 0 na equação 4:

x 2 - x y + y 2 - 0 2 = 1

x 2 + y 2 - x y = 1

Mas, da equação 5, temos que

x 2 + y 2 = 1

Substituindo isso na equação de cima:

1 - x y = 1

x y = 0

E isso só é possível se

x = 0

Ou

y = 0

Passo 10

Se x = 0 :

0 2 + y 2 = 1

y = ± 1

E temos os pontos

P 3   e   4 = ( 0 , ± 1,0 )

E, se y = 0 :

x 2 + 0 2 = 1

x = ± 1

E temos mais dois pontos

P 5   e   6 = ( ± 1,0 , 0 )

Passo 11

UFAAAAA

Agora sim, já testamos todas as possibilidades, então já temos todos os candidatos que poderíamos ter.

Testando na função pra ver quem é o mínimo:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

D P 1   e   2 = ∓ 1 2 2 + ± 1 2 2 + ± 1 2 2 = 3 2

D P 3   e   4 = 0 2 + ± 1 2 + 0 2 = 1

D P 5   e   6 = ± 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1

Assim, os pontos de C que estão mais próximos da origem são os pontos

P 3   e   4 = ( 0 , ± 1,0 )

P 5   e   6 = ( ± 1,0 , 0 )

Tá bem? Então tá bem.

Resposta

Os pontos de C que estão mais próximos da origem são os pontos

P 3   e   4 = ( 0 , ± 1,0 )

P 5   e   6 = ( ± 1,0 , 0 )

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