Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Use o método dos multiplicadores de lagrange para determinar o ponto de máximo da função f x , y , z = 8 x 2 + 4 y z - 16 z + 600 sobre a superfície 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16 .

Passo 1

Bom, vamos lá, por lagrange sabemos que se p   é um ponto crítico da função f x , y , z = 8 x 2 + 4 y z - 16 z + 600 sujeita à restrição g x , y , z = 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16 , então ∇ f = λ ∇ g , para algum λ ∈ R . Até aí tudo certo?

Assim, devemos resolver o sistema

∂ f ∂ x = λ ∂ g ∂ x → 16 x = λ 8 x ∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ y → 4 z = λ 2 y ∂ f ∂ z = λ ∂ g ∂ z → 4 y - 16 = λ 8 z 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Da primeira equação temos que

λ = 2

Logo, substituindo na segunda equação teremos

y = z

Substituindo esse valor na terceira equação obtemos que

4 y - 16 = λ 8 z

4 y - 16 = 16 y

y = - 4 3

Por último, mas não menos importante, substituímos na quarta equação e encontramos

x = ± 4 3

Então conseguimos os pontos

- 4 3 ,   - 4 3 ,   - 4 3   e   4 3 ,   - 4 3 ,   - 4 3

Passo 3

Observa que

f - 4 3 ,   - 4 3 ,   - 4 3 = f 4 3 ,   - 4 3 ,   - 4 3

Afinal de contas o x dentro da função está ao quadrado, entçao seu valor vai ser sempre positivo no final das contas

f - 4 3 ,   - 4 3 ,   - 4 3 = 8 - 4 3 2 + 4 - 4 3 - 4 3 - 16 - 4 3 + 600 = 600

Segue então que ambos os pontos são pontos de máximo de f restrito à g .

Resposta

- 4 3 ,   - 4 3 ,   - 4 3   e   4 3 ,   - 4 3 ,   - 4 3

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