Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Máximos e Mínimos, Multiplicadores de LaGrange

Seja C a elipse determinada pela interseção das superfícies x 2 + y 2 - z 2 = 0 e x + 2 z = 4 . Determine o(s) ponto(s) de C mais próximo(s) do ponto P = - 3,0 , 2 . Explicite a função utilizada e justifique todas as passagens.

Passo 1

Vamos lá, o problema é o seguinte: temos uma função “distância”, que deve ser minimizada. Obviamente, para que a distância não seja simplesmente 0 , existe uma restrição. Ela diz que os pontos a serem avaliados para essa distância devem estar sobre a elipse C ! Pegou a ideia? Teremos que usar LaGrange!

A distância entre dois pontos qualquer é dada por:

f x , y , z = x - x 0 2 + y - y 0 2 z - z 0 2

Beleza? Na verdade não, né... vai ser uma porcaria de derivar essa função XD Mas aqui vem uma dica preciosa: Como a função distância é sempre positiva (claro, não existe distância negativa), então, se elevarmos essa função ao quadrado, seus máximos e mínimos estarão sobre os mesmos pontos! Faz sentido né?

Assim, vamos usar a função:

D x , y , z = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

E, como a distância é em relação ao ponto P = - 3,0 , 2 , podemos escrever:

D x , y , z = x + 3 2 + y 2 + z - 2 2

Show! Agora está bem melhor!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos prosseguir nessa missão? Apenas para efeitos formais, não deixe de dizer na sua prova que:

“Como C é um conjunto fechado e limitado, por ser uma elipse, e como D x , y , z é uma função contínua em R 3 , pelo teorema de Weierstrass, a função assume máximos e mínimos em C ”.

Sei que é chato, mas dependendo do seu examinador, pode ser que ele queira ler isso na sua prova :/

Dito isso, partamos para os Multiplicadores de LaGrange! Já temos a função, que é a D x , y , z , mas e quanto à restrição? Ora, estar sobre a elipse C é o mesmo que estar, simultaneamente, sobre o plano x + 2 z = 4 e sobre o cone x 2 + y 2 - z 2 = 0 !

Assim, cada uma dessas superfícies é uma restrição! Para LaGrange de duas restrições, vamos dizer que os vetores gradientes dessas funções são Linearmente Independentes usando o determinante de 3 × 3 :

D x D y D z g x g y g z h x h y h z = 0 →

Em que h x , y , z = x + 2 z - 4 é o nosso plano e g x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 é o cone!

Passo 3

Partiu encontrar as derivadas parciais pra colocar no nosso determinante?

Começando pela função D x , y , z , teremos:

D x , y , z = x + 3 2 + y 2 + z - 2 2

D x = 2 x + 3

D y = 2 y

D z = 2 z - 2

Agora, para a restrição g x , y , z , teremos:

g x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

g x = 2 x

g y = 2 y

g z = - 2 z

Enfim, para a restrição h x , y , z , fica:

h x , y , z = x + 2 z - 4

h x = 1

h y = 0

h z = 2

Show!

Passo 4

Agora é jogar essas derivadas no determinante! Fica:

2 x + 3 2 y 2 z - 2 2 x 2 y - 2 z 1 0 2 = 0 →

Resolvendo o determinante, teremos:

2 x + 3 2 y 2 z - 2 2 x 2 y - 2 z 1 0 2 = 8 y x + 3 - 2 y . 2 z . 1 - 1.2 y . 2 z - 2 - 2 x . 2 y . 2 = 0

Dando aquela ajeitadinha...

8 y x + 3 - 4 y z - 4 y z - 2 - 8 x y = 0

Fazendo as distributivas:

8 x y + 24 y - 4 y z - 4 y z + 8 y - 8 x y = 0

Juntando os termos com mesmas variáveis:

32 y - 8 y z = 0

Colocando 8 y em evidência,

8 y 4 - z = 0

E, agora, dividindo por 8 dos dois lados,

y 4 - z = 0

Show! Melhor que isso já não dá pra ficar XD

Passo 5

Agora, precisamos montar um sistema com a equação que encontramos e as equações das restrições! Fica:

y 4 - z = 0 x 2 + y 2 - z 2 = 0 x + 2 z = 4

Pela primeira equação, vemos que ou y = 0 , ou z = 4 , certo?

Primeiro vamos tentar y = 0 nas restrições? Colocando na primeira, temos:

x 2 + 0 2 - z 2 = 0

x 2 = z 2

x = z

x = ± z

Jogando esse resultado na segunda restrição, teremos, caso x = z :

x + 2 x = 4

x = 4 3

E, assim, o ponto é P 0 = 4 3 , 0 , 4 3

Caso x = - z , teríamos:

x - 2 x = 4

x = - 4

E, assim, teríamos o ponto P 1 = - 4,0 , 4 !

Passo 6

Agora, vamos testar o caso de z = 4 ? Não!! Hahaha po, se colocarmos z = 4 teremos exatamente o mesmo resultado de P 1 = - 4,0 , 4 ! Seria fazer as mesmas contas numa ordem diferente ;) Assim, as possíveis soluções para o problema são P 0 e P 1 , já encontrados!

Vamos ver que valores D x , y , z assume em cada ponto?

Para P 0 = 4 3 , 0 , 4 3 , teremos:

D 4 3 , 0 , 4 3 = 4 3 + 3 2 + 0 2 + 4 3 - 2 2 = 173 9

Para P 1 = - 4,0 , 4 , teremos:

D - 4,0 , 4 = - 4 + 3 2 + 0 2 + 4 - 2 2 = 5

Assim, temos que P 0 é o ponto de maior distância, e P 1 o mais próximo!

Resposta

Ponto de máximo: P 0 = 4 3 , 0 , 4 3 . Ponto de mínimo: P 1 = - 4,0 , 4

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