Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Determinar, se existirem, o máximo e mínimo absolutos de f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z no domínio x 2 + y 2 + z 2 = 1 . De acordo com sua resolução foi obtido:

Obs.: Usar Multiplicador de Lagrange para resolução

a ) o máximo absoluto de f em S é 14 / 8 , e o mínimo absoluto de f em S é - 3

b ) o máximo absoluto de f em S é 24 / 7 , e o mínimo absoluto de f em S é - 1

c ) o máximo absoluto de f em S é - 17 / 8 , e o mínimo absoluto de f em S é - 1

d ) o máximo absoluto de f em S é 17 / 8 , e o mínimo absoluto de f em S é - 1

e ) não existem valores de máximo absoluto e nem de mínimo absoluto de f em S

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

Em nosso enunciado temos que nos foi dada uma função f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z , e pedem para nós calcularmos os máximo e mínimos absolutos sobre um domínio, ou melhor, uma restrição que pode ser identificada como x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Essas informações são importantes pois é conveniente para a aplicação do método de Multiplicadores de Lagrange citado na observação dada no enunciado! O método é tal que construímos uma nova função da forma

F x , y , z , λ = f x , y , z - λ R x , y , z - c           ( 1 )

Na equação ( 1 ) temos que f ( x , y , z ) é a função dada no enunciado e temos que R x , y , z - c é a restrição igual a zero, ou seja, R x , y , z - c = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0 . O método que vamos utilizar requer que nós calculemos os extremos desta função resolvendo o seguinte sistema de equações

F x = ∂ ∂ x F x , y , z , λ = 0

F y = ∂ ∂ y F x , y , z , λ = 0

F z = ∂ ∂ z F x , y , z , λ = 0

F λ = ∂ ∂ λ F x , y , z , λ = 0

Sei que parece um monstrinho, mas com calma a gente chega lá! Vamos fazer isso!

Passo 2

Primeiro vamos escrever nossa nova função F ( x , y , z , λ ) , como

F x , y , z , λ = 2 x 2 + y 2 + z - λ x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 2 x 2 + y 2 + z - λ x 2 - λ y 2 - λ z 2 + λ

Ou, evidenciando alguns termos apenas para simplificar a função, temos

F x , y , z , λ = x 2 2 - λ + y 2 1 - λ + z 1 - λ z + λ

Agora precisamos montar o nosso sistema de equações utilizando as derivadas parciais que escrevi no passo 1, belezinha?

Passo 3

Temos que

F x = ∂ ∂ x F x , y , z , λ = 0 → 2 x 2 - λ = 0           ( 2 )

F y = ∂ ∂ y F x , y , z , λ = 0 → 2 y 1 - λ = 0             ( 3 )

F z = ∂ ∂ z F x , y , z , λ = 0 → 1 - z λ + z - λ = 1 - 2 λ z = 0           ( 4 )

F λ = ∂ ∂ λ F x , y , z , λ = 0 → - x 2 - y 2 - z 2 + 1 = 0           ( 5 )

Estas quatro equações são o nosso sistema linear, precisamos resolver isso e obter os pontos extremos de nossa função dentro do domínio! Bora lá!

Passo 4

Note que aqui temos que tomar cuidado, pois, a equação ( 2 ) e ( 3 ) nos dá duas situações diferentes. Aquela na qual tomamos λ = 1 , e portanto, y é qualquer dentro do domínio estabelecido pela equação ( 5 ) , mas pela equação ( 2 ) , temos que necessariamente x = 0 . No entanto, se escolhermos λ = 2 , temos então x qualquer no domínio da equação ( 5 ) e y = 0 . Vamos fazer primeiro o caso em que λ = 2 . Da equação ( 4 ) temo que

1 - 2 λ z = 0 → z = 1 2 λ

Ou seja, com λ = 2 , temos

z = 1 4

Substituindo então y = 0 e z = 1 / 4 na equação ( 5 ) , podemos fixar um valor para x no domínio, temos

x 2 + 1 16 = 1 → x 2 = 1 - 1 16

Ou, resolvendo a soma, e tirando a raiz, temos

x = ± 15 4

Podemos utilizar isso para calcular o valor de f ( x , y , z ) , temos

f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z = 2 15 16 + 1 4

Obtendo o valor f x , y , z = 17 / 8 . Vamos avaliar agora a outra possibilidade!

Passo 5

Se tomarmos que λ = 1 , temos que

z = 1 2

E, da equação ( 5 ) , com x = 0 , temos

y 2 + 1 4 = 1 → y 2 = 1 - 1 / 4

Resolvendo e tirando a raiz, temos

y = ± 3 / 2

Que nos leva ao seguinte valor da função

f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z = 3 2 2 + 1 / 2

De onde obtemos o valor f x , y , z = 5 / 4 . Agora vamos verificar se ambos estes valores são relacionados à um máximo ou mínimo!

Passo 6

Para fazer isso, vamos testar um ponto qualquer pertencente ao domínio, por exemplo x , y , z = ( 0,1 , 0 ) . Neste ponto, temos que

f x , y , z = 1

Como 1 < 17 / 8 , portanto, 17 / 8 é um máximo absoluto, e como 1 < 5 4 < 17 8 , este segundo ponto não representa um mínimo absoluto, o verdadeiro ponto de mínimo, no entanto ocorre em x , y , z = ( 0,0 , - 1 ) , em que f x , y , z = - 1 . Esta é a resposta de nossa questão! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

FFFVF

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