Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Determine, caso existam, os pontos do R 3 que pertencem à curva C e que apresentam a maior e a menor distância, respectivamente ao plano y z . A curva C é obtida pela interseção entre as superfícies x 2 + 2 y 2 + z 2 = 25 e z + 2 y - x + 4 = 0 .

Obs.: Resolva a questão utilizando conhecimentos obtidos no Cálculo 2. Na resolução da questão não se pode fazer substituição de variável.

Passo 1

Fala, pessoal! Aqui estaremos aplicando a Teoria dos Multiplicadores de Lagrange. Esta visa maximizar/minimizar uma função f x , y , z = | x | (distância ao plano y z ) sob restrições g = 0 . Nesse caso,

g 1 x , y , z = x 2 + 2 y 2 + z 2 - 25 = 0

g 2 x , y , z = z + 2 y - x + 4 = 0

A fim de facilitar a derivação utilizaremos f x , y , z = x 2 , pois se um número é extremo em módulo será ao quadrado bem como. Certo, se f tem um valor extremo em P na curva de interseção das restrições e o produto vetorial ∇ g 1 P × ∇ g 2 P ≠ 0 , então existem λ 1 ,   λ 2 ∈ R tais que:

∇ f P + λ 1 ∇ g 1 P + λ 2 ∇ g 2 P = 0

Simbora! Quanto aos gradientes, temos: ∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

∇ f = ( 2 x , 0,0 )

∇ g 1 = 2 x , 4 y , 2 z                                                                                       ∇ g 2 = ( - 1,2 , 1 )

Note que para:

∇ g 1 × ∇ g 2 = i j k 2 x 4 y 2 z - 1 2 1 = 4 y - 4 z , - 2 z - 2 x , 4 x + 4 y = ( 0,0 , 0 )

Se, e somente se, y = z = - x .

Passo 2

E vejamos:

∇ f + λ 1 ∇ g 1 + λ 2 ∇ g 2 = 0

⇒ ( 2 x , 0,0 ) + λ 1 2 x , 4 y , 2 z + λ 2 ( - 1,2 , 1 ) = ( 0,0 , 0 )

Daí, e lembrando que P ( x , y , z ) pertence às curvas de restrição:

2 x + 2 x λ 1 - λ 2 = 0 4 y λ 1 + 2 λ 2 = 0 2 z λ 1 + λ 2 = 0 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 25 = 0 z + 2 y - x + 4 = 0

Das 3 primeiras equações:

x , y , z = λ 2 2 + 2 λ 1 ,   - λ 2 2 λ 1 ,   - λ 2 2 λ 1

Com isso y = z . Aplicando isso na 5 ª equação:

z + 2 z - x + 4 = 0 ⇒ x = 3 z + 4

Logo, y = z ≠ - x e no passo anterior ∇ g 1 × ∇ g 2 ≠ 0 . Assim,

λ 2 2 + 2 λ 1 = 3 ,   - λ 2 2 λ 1 + 4

λ 2 1 2 + 2 λ 1 + 3 2 λ 1 = 4

⇒ λ 2 = 16 λ 1 λ 1 + 1 6 + 8 λ 1

Aplicando ( x , y ) ( z ) na 4 ª equação, contudo, teremos:

3 z + 4 2 + 2 z 2 + z 2 - 25 = 0

⇒ 12 z 2 + 24 z - 9 = 0

⇒ 4 z 2 + 8 z - 3 = 0

⇒ z = - 8 ± 64 + 48 8

⇒ y = z = - 1 ± 7 2                   x = 3 z + 4 = 1 ± 3 7 2

Contudo, temos:

z =   - λ 2 2 λ 1 = - 1 2 λ 1 16 λ 1 λ 1 + 1 6 + 8 λ 1

⇒ 6 z + 8 z λ 1 = - 8 λ 1 - 8

⇒ λ 1 = 3 z + 4 - 4 z - 4 = - 1 4 3 z + 4 z + 1    

⇒ λ 1 = - 1 4 1 ± 3 7 2 ± 7 2

λ 1 = - 1 4 3 ± 2 7 7

Por fim, como λ 1 ≠ - 3 4 , temos que ∃       λ 2 = 16 λ 1 λ 1 + 1 6 + 8 λ 1 ∈ R . Assim, os pontos achados são extremos.

Passo 3

Passemos à análise dos extremos. Repare que:

f 1 ± 3 7 2 , - 1 ± 7 2 , - 1 ± 7 2 = 1 ± 3 7 2 2 = 67 4 ± 3 7

É importante analisarmos a vizinhança dos pontos. A curva de interseção entre o elipsoide x 2 + 2 y 2 + z 2 = 25 e o plano z + 2 y - x + 4 = 0 é uma elipse centrada fora da origem e inclinada como o plano. Assim, ambos os pontos seriam pontos de máximo, pois na elipse a distância aumentaria e reduziria novamente de ambos os lados.

Desses dois candidatos, 1 + 3 7 2 , - 1 + 7 2 , - 1 + 7 2 representa o ponto com maior distância como mostrado. A menor distância ao plano é 0 , logo tome x = 0 , logo:

x = 0 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 25 = 0 z + 2 y - x + 4 = 0 ⇒ x = 0 2 y 2 + - 4 - 2 y 2 - 25 = 0 z = - 4 - 2 y ⇒

⇒ x = 0 6 y 2 + 16 y - 9 = 0 z = - 4 - 2 y ⇒ x = 0 y = - 16 ± 256 + 216 12 z = - 4 - 2 y ⇒ x = 0 y = - 8 ± 118 6 z = - 32 ∓ 2 118 6

Resposta

O ponto de maior distância do plano é:

1 + 3 7 2 , - 1 + 7 2 , - 1 + 7 2

E os pontos de menor distância são:

x = 0 y = - 8 ± 118 6 z = - 32 ∓ 2 118 6

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