Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

O valor Mínimo da função f ( x ,   y ,   z )   =   6 x + z sobre a curva de interseções das superfícies x 2 + y 2 = 4 e z = x 2 - 2 y 2 é ____.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Essa questão é complicada! Mas estou aqui para te ajudar! Vamos lá?

O enunciado deu várias restrições ( x 2 + y 2 = 4   e z = x 2 - 2 y 2 ), pediu o MÍNIMO da função, isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange com duas restrições!

A função a ser minimizada é a função:

f ( x ,   y ,   z )   =   6 x + z

E duas restrições: o círculo

x 2 + y 2 = 4

Que pode ser escrita assim:

g x , y , z = x 2 + y 2 - 4

E a outra superfície:

z = x 2 - 2 y 2

Que pode ser escrita como:

h x , y , z = x 2 - 2 y 2 - z

Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

A ideia aqui é calcular os gradientes, substituir na equação ali em cima e resolver o sistema!

Mas vamos fazer os poucos, beleza?

Passo 2

Os gradientes!

Primeiro da função f :

f x , y , z = 6 x + z

∇ f = ( 6,0 , 1 )

Agora da restrição do elipsoide:

g x , y , z = x 2 + y 2 - 4

∇ g = ( 2 x , 2 y , 0 )

E por fim do plano:

h x , y , z = x 2 - 2 y 2 - z

∇ h = ( 2 x , - 4 y , - 1 )

Beleza?

Passo 3

Agora vamos aplicar esses vetores na equação dos multiplicadores:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

( 6,0 , 1 ) = λ ( 2 x , 2 y , 0 ) + μ ( 2 x , - 4 y , - 1 )

As equações saem determinadas quando a gente iguala as componentes dos vetores:

1 : 6 = λ 2 x + x 2 μ 2 : 0 = λ 2 y - 4 y μ 3 : 1 = - μ

E mais as duas restrições:

4 : x 2 + y 2 = 4   5 :   x 2 - 2 y 2 = z

Da equação (3):

μ = - 1

Daí de (2):

4 y μ = 2 y λ ∴ λ = - 2

Agora de (1):

6 = 2 x λ + 2 x μ

6 = 2 x - 2 - 1

x = - 1

E agora de (4):

x 2 + y 2 = 4

- 1 2 + y 2 = 4

y 2 = 3 ∴ y = ± 3

E por fim de (5):

z = - 1 2 - 2 ± 3 2 = - 5

Assim temos dois pontos:

P 1 - 1 , + 3 ,   - 5

P 2 ( - 1 , - 3 , - 5 )

Esses são nossos pontos críticos. Agora vamos substituir na função f e ver quem é maior e menor!

Passo 4

Agora vamos aplicar esses pontos na função f :

f x , y , z = 6 x + z

Testando P 1 :

f P 1 = 6 . - 1 + - 5 = - 11

E testando P 2 :

f P 2 = 6 . - 1 + - 5 = - 11

Os dois pontos dão o mesmo valor! Então é esse nosso resultado!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

- 11

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