Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Enconte, caso existam, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função

f x , y , z = 4 x 2 + 4 y 2 + 2 z

Para ( x , y , z ) pertencente à curva ϵ que é dada pela interseção do cilindro

x 2 + y 2 = 5

E o plano

2 x + 3 y + 2 z = 0

Passo 1

Opa, queremos encotrar máximo e mínimo em cima de uma curva de interseção de duas superfícies.

Considerar a curva de interseção como uma restrição, é o mesmo que considerar as duas superfícies como duas restrições.

Então, vamos usar o método dos multiplicadores de LaGrange com duas restrições.

Assim

∇ f x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ ∇ H x , y , z

Em que G e H são, respectivamente, as equações do cilindro e do plano, e λ e μ são seus multiplicadores!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função f :

f x , y , z = 4 x 2 + 4 y 2 + 2 z

f x = 8 x

f y = 8 y

f z = 2

E, então, nosso vetor gradiente é:

f x , y , z = 8 x , 8 y , 2

Agora, para a equação do cilindro,

G x , y , z = x 2 + y 2 - 5

G x = 2 x

G y = 2 y

G z = 0

E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

Por fim, para o plano, teremos:

H = 2 x + 3 y + 2 z

H x = 2

H y = 3

H z = 2

E, finalmente, o vetor gradiente do plano é:

∇ H x , y , z = 2,3 , 2

Passo 3

Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:

8 x , 8 y , 2 = λ 2 x , 2 y , 0 + μ 2,3 , 2

Igualando as coordenadas, temos:

8 x = 2 λ x + 2 μ 8 y = 2 λ y + 3 μ 2 = 0 + 2 μ x 2 + y 2 = 5 2 x + 3 y + 2 z = 0

Olha que coisa linda! Está vendo ali a terceira equação? Ela já nos diz que o valor de μ será 1 ! Então, podemos olhar para o sistema com esse valor substituindo:

8 x = 2 λ x + 2 ( 1 ) 8 y = 2 λ y + 3 ( 1 ) 2 = 0 + 2 ( 1 ) x 2 + y 2 = 5 2 x + 3 y + 2 z = 0

Dando aquela ajeitadinha...

2 x ( 4 - λ ) = 2 2 y ( 4 - λ ) = 3 2 = 2 x 2 + y 2 = 5 2 x + 3 y + 2 z = 0

Passo 4

Tá vendo aquela primeira equação alí? Então, temos

x = 1 4 - λ

E, da segunda equação, temos

y = 3 2 4 - λ

y = 3 2 ∙ 1 4 - λ = 3 2 x

Substituindo isso na quarta equação:

x 2 + 3 2 x 2 = 5

13 4 x 2 = 5

x 2 = 20 13

x = ± 20 13

Disso, tiramos que

y = 3 2 x = 3 2 ± 20 13  

y = ± 3 2 20 13

Substituindo isso na ultima equação:

2 ± 20 13 + 3 ± 3 2 20 13 + 2 z = 0

± 13 2 20 13 + 2 z = 0

z = ∓ 13 4 20 13

Passo 5

Então, temos os candidatos a máximo e mínimo globais:

P 1 = 2 5 13 ,   3 5 13 ,   - 13 2 5 13

P 2 = - 2 5 13 , -   3 5 13 ,   13 2 5 13

Vamos testá-los e ver qual é o máximo e qual é o mínimo?

f P 1 = 4 2 5 13 2 + 4 3 5 13 2 + 2 - 13 2 5 13

f P 2 = 4 - 2 5 13 2 + 4 - 3 5 13 2 + 2 13 2 5 13

Repara que a única coisa que muda de f ( P 1 ) pra f ( P 2 ) é que em f ( P 1 ) subtraímos 13 5 13 e em f ( P 2 ) somamos 13 5 13 . Ou seja

f P 1 < f P 2

Asism,

P 1 = 2 5 13 ,   3 5 13 ,   - 13 2 5 13

É ponto de mínimo absoluto e

P 2 = - 2 5 13 , -   3 5 13 ,   13 2 5 13

É ponto de máximo absoluto.

Resposta

P 1 = 2 5 13 ,   3 5 13 ,   - 13 2 5 13

É ponto de mínimo absoluto e

P 2 = - 2 5 13 , -   3 5 13 ,   13 2 5 13

É ponto de máximo absoluto.

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